INTEGRAL DE SUPERFICIE
1033 palavras
5 páginas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPAUNIPAMPA
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Anna Carolina Patricio
Fernanda Cazabonet
Sinara Matos
Alegrete
2013
1
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
1. INTRODUÇÃO
Para calcular a integral de uma superfície, deve-se dividi-la em diversos elementos de área, dentro de uma região definida, sendo estes todos tangentes à superfície em um ponto da mesma. Tais elementos são definidos pelos vetores u e v e terão área aproximada à área de sua projeção sobre a superfície que se quer calcular. Dessa forma, a área da superfície aproxima-se do somatório de todos os elementos de área dentro da região em que se quer calcular. A integral de superfície pode ser aplicada no cálculo de massa, centro de massa e momento de inércia de uma superfície , que será imaginada como um corpo delgado, como densidade superficial de uma massa ( massa por unidade de área) conhecida.
Se f (x,y,z) for a densidade superficial de massa no ponto (x,y,z)que pertence a imagem de S, então a massa M de
será dada por:
∬ (
)
( )
É comum referir-se a dm = f (x,y,z) dS como elemento de massa.
O momento de inércia da superfície em relação a um eixo fixo é definido por:
∬
( )
Onde r = r (x,y,z) é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo. O centro de massa (
,
)
é definido por:
∬
∬
∬
Onde M é a massa e dm=f(x,y,z) dS o elemento de massa.
2. CÁLCULO DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Definimos integral de superfície de
sobre a superfície S como
(3)
2
∬ (
)
( )
2.1.Superfície Gráfica (sem parametrização):
(
Sendo S uma superfície com equação
∬ (
)
(
∬ (
) e R sua projeção no plano
))√(
)
(
.
)
( )
Fórmulas semelhantes se aplicam quando é mais conveniente projetar S sobre o plano ou o plano
(
. Por exemplo, se S for uma superfície com equação
projeção no plano
) e R for sua
, então:
∬ (
)
(
∬ (
) )√(
)
(
)
( )
2.2.Superfície Paramétrica