integrais de superficie

INSTITUTO DE ESTUDOS SUPERIORES DA AMAZÔNIA
CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

BRENDA AVIZ

BELÉM-PA
10/11/10

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

INTRODUÇÃO
A integral de uma superfície de uma função sobre uma superfície é uma soma de parcelas infinitesimais, cada uma delas correspondendo ao produto do valor da função em um ponto da superfície pela área de uma região infinitesimal próxima ao ponto e sobre a superfície. No caso em que a superfície em questão é uma região do plano x y, então a integral de superfície é exatamente a integral dupla sobre essa região.
Caso a região do plano seja uma superfície (x, y e z) aplica-se então a seguinte forma de equação: f (x, y, z) = 0 para a figura a seguir:

Figura 1

1. REPRESENTAÇÃO DE SUPERFÍCIE
Superfícies são conjuntos de pontos no espaço cujo comportamento e aparências assemelhamse aos planos. Uma superfície tem a aparência de uma folha de material flexível que assume curvas de acordo com a função que a representa, embora a mesma não seja flexível e mantenha a sua forma no espaço aparentemente rígido. De fato, uma superfície é como uma lâmina que mantém a sua forma depois que é moldada.
A partir da equação geral do 2º grau para três variaveis x,y e z, temos uma superfície quádrica: (I)
Observa-se que, se a superfície quádrica dada pela equação (I) for cortada por planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamado traço da superfície no plano. Por exemplo, o traço da superfície quádrica (I) no plano z=0 é a cônica:
(II)
A equação (II) está contida no plano z=0, ou seja, no plano x0y, e representa uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, pois suas equações gerais são desse tipo.
1.1. ESFERA

Em R³, a representação implícita, na qual se descreve uma superfície como um conjunto de pontos satisfaz uma equação da forma

. É possível resolver esta equação

para uma das