incomensuraveis

Para os pitagóricos, todas as grandezas (comprimento, área, volume,...) podiam ser associadas a um número inteiro ou a uma razão entre dois números inteiros. Admitiam que os números racionais eram suficientes para comparar, por exemplo, segmentos quaisquer de reta. Dados dois segmentos, supunham que existia sempre um segmento que “cabia” um número inteiro de vezes num deles e um número inteiro de vezes no outro. Nesse caso, os segmentos eram comensuráveis. Em notação moderna, dizer que os dois segmentos AB e CD são comensuráveis significa dizer que existe um segmento u e dois naturais m e n tais que AB=nu e CD=mu. Num dado momento da história, descobriu-se a existência de grandezas incomensuráveis. Essa descoberta marcou profundamente o desenvolvimento da matemática grega. Vitruvius (século I a.C), na sua obra Dez livros de arquitetura, o mais antigo texto sobre a história da matemática que chegou até os nossos tempos em sua versão original, atribui a Pitágoras e a seus discípulos a descoberta de grandezas incomensuráveis. Mais tarde Proclus (420-485 D.C) no prólogo do livro Os comentários sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides atribui também tal descoberta à escola pitágórica. Esse fato destruiu a crença de que o universo era governado por números inteiros. Alguns historiadores associam o aparecimento de grandezas incomensuráveis com a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em que a hipotenusa é a diagonal de um quadrado e os catetos são os lados do quadrado.
O artigo de K.Von Fritz “A descoberta da incomensurabilidade por Hipasus de Metapontum” introduziu uma nova dimensão ao problema. Ele desloca radicalmente a questão da incomensurabilidade para a divisão de um segmento em média e extrema razão. Von Fritz observa que apesar de Proclus atribuir a Pitágoras a descoberta dos incomensuráveis, todos os outros textos se referem à Hipasus de Metapontum nascido por volta de 500 a.C. Segundo ele essa descoberta pode ter sido feita por