Violencia

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NÚMEROS REAIS E MEDIDAS

Recapitulando Nos módulos anteriores, construímos dois conjuntos numéricos: 1) 2) Conjunto dos inteiros {0,1,2,3...} Conjunto dos racionais: {
m / m,n são inteiros e n ≠0} n

No módulo II, a construção dos racionais foi feita na perspectiva da aritmética das operações com números inteiros. As frações foram definidas como quocientes de inteiros, que não sãonecessariamente inteiros. Esta construção pode ser feita, também, numa perspectiva partir do conceito de medida de segmentos. geométrica, a

O Problema da medida – Construção do Campo Racional

O processo de medida consiste em comparar um segmento arbitrário com outro fixado como unidade. Quando comparamos os segmentos de reta AB e CD , o que fazemos?

A C D

B

Aplicamos um sobre o outro,fazendo coincidir dois extremos A e C. Vemos que o ponto D cai entre A e B e expressamos o resultado da comparação: o comprimento de AB é maior que o de CD ou o comprimento de CD é menor que o de AB . Mas não basta informar que um comprimento é “maior que” o outro. Às vezes necessitamos saber quantas vezes cabe um comprimento no outro. Para isto é necessário um termo de comparação para todas asgrandezas de uma mesma espécie, ao qual denominamos de “unidade de medida”. 1) É necessário estabelecer um termo único de comparação para todas as

grandezas da mesma espécie, a este termo chamamos unidade de medida. No caso da medida de segmentos, a unidade pode ser centímetros, metros, pés, jardas, etc. 2) É necessário responder à pergunta: Quantas vezes? A resposta consiste expresse o resultado dacomparação com a em achar um número que

unidade. Este número é a “medida da grandeza em relação a essa unidade”. Podemos então supor o comprimento do segmento CD é uma unidade de medida “u” e que queremos medir um segmento AB , adotando como esta unidade.

Às vezes, CD cabe um número inteiro de vezes no segmento AB , neste caso, dizemos que a medida AB = n u, sendo n um número inteiro epositivo. Ou seja, o processo de medida pode conduzir a números inteiros.

Mas, freqüentemente, CD não cabe um número inteiro de vezes no segmento
AB .

Nestes casos, procuramos uma unidade de medida menor, subdivindo CD em segmentos iguais e menores. O processo de subdivisão termina ao encontrarmos um segmento menor cuja medida é v e que cabe um número inteiro de vezes em AB e em CD . Escolhemos vcomo unidade de medida e temos as seguintes igualdades:
AB = m v

CD = u = n v onde m, n são números inteiros positivos.
Para responder à pergunta: quantas vezes

CD cabe em AB , dividimos a

medida de AB pela medida de CD e obtemos:

Logo AB =

m u n m como a razão entre as medidas dos dois segmentos. n

Define-se o número

Um segmento AB é dito comensurável com a unidade dadapelo semento CD quando existe uma subunidade de medida que cabe um número inteiro de vezes em AB e em CD . Dizemos que AB = m.v

CD = n.v , onde m e n são números inteiros positivos e
m . n

que a razão entre estas medidas é o número

Definição

Um número racional é um número que representa a medida de um segmento comensurável com a unidade.

Todo número racional é expresso pela razãom com m e n inteiros e n ≠ 0. n

A crise da medida: a definição de irracional

Por muito tempo se pensou que dois segmentos quaisquer eram sempre comensuráveis. A ilusão da comensurabilidade durou até o quarto século antes de Cristo. Naquela época, em Crotona, sul da Itália, havia uma seita filosófico-religiosa, liderada por Pitágoras. Um dos pontos fundamentais de sua doutrina era o lema "Osnúmeros governam o mundo", sendo que, para eles, números eram números naturais sobre os quais se podia estabelecer relações, tomar razões e, conseqüentemente, formar frações. Estudando geometria, Pitágoras conseguiu demonstrar que, para qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos dois catetos (Veja a demonstração do Teorema Pitágoras). A partir deste...
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