Grupos de Lie: Uma introdução

Grupos de Lie: Uma introdu¸ca˜o
Carlos Henrique Marques
19 de agosto de 2013

Resumo
Nesse trabalho, estudamos alguns t´ opicos importantes para o estudo dos grupos de lie. Come¸cando por grupos, de uma maneira geral, estudamos as propriedades de grupos, e algumas implica¸c˜oes destas. Continuamos com um estudo sobre homomorfismos suaves, o que nos foi u
´til, no t´opico sobre subgrupo a
1-parˆametro. Estudamos tamb´em algumas caracter´ısticas de grupos de matrizes, e suas implica¸c˜ oes, tendo em mente principalmente exponencial e logar´ıtmo de matrizes. Para chegarmos a uma primeira defini¸c˜ ao sobre grupos de lie de matrizes, necessitamos de um estudo sobre topologia, e tamb´em topologia relativa, que foram u
´teis para o entendimento de conjuntos fechados de matrizes. Finalmente, pudemos estudar de modo geral, a defini¸c˜ ao de grupos de lie de matrizes, e estudamos superficialmente um grupo de lie de matrizes: o grupo de Heisenberg.

Sum´ ario 1 Grupos
1.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . .
1.2 Opera¸c˜ ao interna . . . . . .
1.3 Grupos . . . . . . . . . . .
1.4 Grupos de permuta¸c˜ oes . .
1.5 Subgrupos . . . . . . . . . .
1.6 Teorema de Lagrange . . .
1.7 Subgrupos normais e grupos
1.8 Homomorfismos de grupos .

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2 Homomorfismos
2.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Curvas em um espa¸co vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Homomorfismos suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Exponencial e logar´ıtmo
3.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . .
3.2 Exponencial de uma matriz
3.3 Logar´ıtmo de matrizes . . .
3.4 Subgrupos a 1-parˆ ametro .

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. . . . . . . quocientes . . . . . . .

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