Geometria

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GEOMETRIA ANALÍTICA

Prof. Sergio Ricardo

Duque de Caxias 2013

Geometria Analítica

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CAPÍTULO 1
O ponto no plano
1 - Estudo do Ponto no Plano (no R2)
1.1 - Par Ordenado e Coordenadas Cartesianas

A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada (ou abscissa) e o número b é a segunda coordenada (ouordenada). Assim o par (3, 4) é diferente do par (4, 3), pois no primeiro a abscissa é 3 e a ordenada é 4, enquanto que no segundo a abscissa é 4 e a ordenada é 3. 1.2 - Produto Cartesiano

O produto cartesiano XxY de 2 conjuntos X e Y é o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y) cuja primeira coordenada x pertence a X e cuja segunda coordenada y pertence a Y. X x Y = {(x, y) ; x∈X e y∈Y}Exemplo: O produto cartesiano AB x CD entre 2 segmentos de reta AB e CD é um retângulo.

Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira.

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1.3 - Sistema de Eixos Ortogonais
Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares Ox e Oy, que possuem a mesma origem O. Esses eixos são orientados e utilizam a mesma unidade de medida.

1.4 - Plano Cartesiano(Plano R2) Chamamos de Plano Cartesiano (ou Plano ℝ 2 = ℝxℝ ) a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais, onde qualquer um de seus pontos P = (x, y) possui uma abscissa x ∈ ℝ e uma ordenada y ∈ ℝ . Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em 4 quadrantes numerados no sentido anti-horário.

Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira.

Geometria Analítica

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Os pontos P do eixo xsão da forma P(x, 0), ou seja, possuem ordenada nula. Os pontos P do eixo y são da forma P(0, y), ou seja, possuem abscissa nula. Os pontos P do 1o quadrante são da forma P(x, y) com x > 0 e y > 0 : (+, +) Os pontos P do 2o quadrante são da forma P(x, y) com x < 0 e y > 0 : (−, +) Os pontos P do 3o quadrante são da forma P(x, y) com x < 0 e y < 0 : (−, −) Os pontos P do 4o quadrante são da formaP(x, y) com x > 0 e y < 0 : (+, −)

Exemplo:
Localize no plano cartesiano os pontos A(4, 1), B(1, 4), C(−2, −3), D(2, −2), E(−1, 0), F(0, 3) e O(0,0). Solução

1.5 - Bissetrizes dos Quadrantes
A reta r que passa por todos os pontos cuja ordenada é igual à abscissa é a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja : r = {( x,y ) ∈ ℝ 2 : y = x}

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A reta s que passa por todos os pontos cuja ordenada é simétrica da abscissa é a bissetriz dos quadrantes pares, ou seja : r = {( x,y ) ∈ ℝ 2 : y = − x}

1.6 - Ponto Médio de um Segmento
Considere no ℝ 2 , o segmento de reta AB, cujos extremos são os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB). Representemos o ponto médio desse segmento AB por M = (xM, yM). Da congruência dostriângulos retângulos ADM e MEB, conclui-se que as coordenadas xM e yM do ponto M, são :
xM =
xA + xB 2 e yM = yA + yB 2

1.7 - Distância entre dois pontos
Considere no ℝ 2 , os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB).

d(A, B) xB − x A

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ADB, vem :
d (A,B) =
(x − x ) 2 + (y − y ) 2
B A B A

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1.8 - Ponto que divide um segmento em uma razão dada
Considere no ℝ 2 , o segmento de reta AB, cujos extremos são os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB). Dada uma razão r, desejamos as coordenadas do ponto S = (xS, yS) que divide o AS =r segmento AB na razão r, ou seja : SB

Como AS = r ⋅ SB, também AS = r ⋅ SB Daí, temos sucessivamente : S − A = r (B − S) = r B − r SS+rS=A+rB S (1 + r) = A + r B S= Portanto :
x A + rB 1+r





xS =

A

+ rx

B

y

1 + r

e yS =

A

+ ry

B

1 + r

OBS : a) Se r > 0, S está entre A e B (em particular, se r = 1, S é o ponto médio de AB) b) Se r < 0 (r ≠ −1), S é externo a AB (à esquerda de A, se −1< r < 0 e à direita de B se −∞ < r < −1)

Baricentro (centro de Gravidade) de um Triângulo
Seja...
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