Geometria

Cˆnicas o Transla¸˜o de Cˆnicas ca o
Rota¸˜o de Cˆnicas ca o

Identifica¸˜o de Cˆnicas ca o

Cˆnicas o Transla¸˜o de Cˆnicas ca o
Rota¸˜o de Cˆnicas ca o

Elipse
Hip´rbole
e
Par´bola
a

Cˆnicas o Defini¸˜o: Uma cˆnica no plano ´ o conjunto dos pontos ca o e P = (x, y ) que satisfazem a equa¸˜o ca ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, onde a, b, c, d, e e f s˜o n´meros reais, sendo a, b e c n˜o todos a u a nulos.
Estudaremos aqui a elipse, a hip´rbole e a par´bola, que s˜o e a a chamadas cˆnicas n˜o degeneradas. As outras que incluem um o a unico ponto e um par de retas s˜o chamadas cˆnicas degeneradas.
´
a o As cˆnicas s˜o assim chamadas, pois podem ser obtidas da o a interse¸˜o de um cone circular com um plano. ca Vamos definir as cˆnicas como conjunto de pontos que satisfazem o certas propriedades e determinar suas equa¸˜es. co Cˆnicas o Transla¸˜o de Cˆnicas ca o
Rota¸˜o de Cˆnicas ca o

Elipse
Hip´rbole
e
Par´bola
a

Elipse

Defini¸˜o: Uma elipse ´ o conjunto dos pontos P no plano tais ca e que a soma das distˆncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) a ´ constante, ou seja, se d(F1 , F2 ) = 2c, ent˜o a elipse ´ o conjunto e a e dos pontos P tais que d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a, onde a > c.

Cˆnicas o Transla¸˜o de Cˆnicas ca o
Rota¸˜o de Cˆnicas ca o

Elipse
Hip´rbole
e
Par´bola
a

Elipse

Proposi¸˜o: ca (a) A equa¸˜o da elipse cujos focos s˜o F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) ca a
´
e x2 y2
+ 2 = 1. a2 b
(b) A equa¸˜o da elipse cujos focos s˜o F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) ca a
´
e x2 y2
+ 2 = 1. b2 a
√
Em ambos os casos b = a2 − c 2 . (a2 = b 2 + c 2 )

Cˆnicas o Transla¸˜o de Cˆnicas ca o
Rota¸˜o de Cˆnicas ca o

Elipse
Hip´rbole
e
Par´bola
a

Elipse
Seguindo as nota¸˜es das figuras do quadro: co Os pontos A1 e A2 s˜o chamados v´rtices da elipse; a e
Os segmentos A1 A2 e B1 B2 s˜o chamados eixos da elipse; a O