Geometria

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Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano
1. Introdução
A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais e pontos do espaço por ternos ordenados de números reais. Desse modo, curvas no plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio de equações, o que torna possível tratar algebricamentemuitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar de forma geométrica diversas questões algébricas. Ao longo destas notas, admitiremos que o leitor tenha conhecimento dos principais axiomas e resultados da Geometria Euclidiana Plana e Espacial, relativos aos seus elementos básicos: pontos, retas e planos. Por exemplo: por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta; por trêspontos do espaço não situados na mesma reta passa um, e somente um plano; fixada uma unidade de comprimento, a cada par de pontos A e B corresponde um número real, denominado distância entre os pontos A e B ou comprimento do segmento AB, que designamos por d(A, B) e satisfaz as seguintes propriedades:

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Geometria Analítica - Capítulo 1

a. d(A, B) ≥ 0. b. d(A, B) = 0 ⇐ A = B. ⇒ c. d(A, B) =d(B, A). d. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)(desigualdade triangular). e. d(A, B) = d(A, C) + d(C, B) ⇐ A, B e C são colineares e C ⇒ está entre A e B.

Fig. 1: O ponto C está entre A e B, logo d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).

2. Coordenadas na reta
Seja r uma reta. Dizemos que r é uma reta orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso, chamado positivo. O sentido oposto sobre a reta r édenominado negativo.
Fig. 2: Escolha de um sentido de percurso na reta r .

Sejam A e B pontos na reta r . Dizemos que o ponto B está à direita do ponto A (ou que A está à esquerda de B) quando o sentido de percurso de A para B coincide com o sentido positivo escolhido na reta r.

Fig. 3: B está à direita de A na reta orientada r .

Um eixo E é uma reta orientada na qual é fixado um pontoO, chamado origem.

Fig. 4: Origem O escolhida no eixo E.

IM-UFF

K. Frensel - J. Delgado

Geometria Analítica - Capítulo 1

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Todo eixo E pode ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dos números reais R da seguinte maneira: E ← R → • à origem O do eixo faz-se corresponder o número zero. • a cada ponto X de E à direita de O corresponde o número real positivo x = d(O,X). • a cada ponto X de E à esquerda de O corresponde o número real negativo x = −d(O, X). O número real x, correspondente ao ponto X, é chamado a coordenada do ponto X.

Fig. 5: Coordenada de um ponto X do eixo E em relação à origem O.

Proposição 1
Sejam X e Y dois pontos sobre o eixo E com coordenadas x e y respectivamente. Então, d(X, Y ) = |y − x| = |x − y|. Prova. Se X = Y , não há o queprovar. Suponhamos que X = Y . Para fixar as idéias, vamos assumir que X está à esquerda de Y , isto é, x < y. Temos três casos a considerar: Caso 1. X e Y estão à direita da origem. Isto é, 0 < x < y.

Fig. 6: Caso 1: 0 < x < y.

Como X está entre O e Y , d(O, X) = x e d(O, Y ) = y, temos, por d(O, Y ) = d(O, X) + d(X, Y ), que y = x + d(X, Y ). Portanto, d(X, Y ) = y − x = |y − x|.

K.Frensel - J. Delgado

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Geometria Analítica - Capítulo 1

Caso 2. X e Y estão à esquerda da origem. Isto é, x < y < 0.

Fig. 7: Caso 2: x < y < 0.

Neste caso, Y está entre X e O, d(O, X) = −x e d(O, Y ) = −y. Logo, d(O, X) = d(X, Y ) + d(Y , O) ⇐ −x = d(X, Y ) − y, ⇒ ou seja, d(X, Y ) = y − x = |y − x|. Caso 3. X e Y estão em lados opostos em relação à origem. Isto é, x < 0 < y.Fig. 8: Caso 3: x < 0 < y.

Como O está entre X e Y , d(X, Y ) = d(X, O) + d(O, Y ). Além disso, d(X, O) = −x e d(O, Y ) = y. Logo, d(X, Y ) = −x + y = y − x = |y − x|. Verificando assim o desejado.

Observação 1
• Se X estiver à direita de Y , a demonstração é feita de maneira similar. • Sejam X e Y pontos de coordenadas x e y, e M o ponto médio do segmento XY , de coordenada m. Então,...
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