Geometria analitica e derivadas

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Sumario:

1. Introdução2

2. Geometria Analítica: Retas 3
3.1 Introdução
3.2 Medida Algébrica de um Segmento
3.3 Plano Cartesiano
3.4 Distância entre dois pontos

3. Resolução Exercícios 5

4. Derivada 9
5.5 Algumas Derivadas Basicas
5.6 Regra de Cadeias
5.7 Derivadas da Função Inversa
5.8 Exemplos de Derivadas

5.Referencias Bibliográfica 13

Introdução

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência emexatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP.
Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido.
No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função[1]. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmomodo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta.

1. Geometria Analítica: Retas
1.1 Introdução
   Entre os pontos de uma reta e os números reais existeuma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
   Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

 
1.2Medida algébrica de um segmento 
   Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

    A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
 
1.3 Plano cartesiano
   A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
   Quando os eixos desses sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.
   Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

    Exemplos:
* A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
* B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão emnenhum quadrante.
 
1.4 Distância entre dois pontos
   Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:
| |
   Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

2. Resolução Exercícios
1. Sendo R(q) =q²-7q=8 a função da receita de uma empresa debrinquedos, encontre algebricamente a função derivada de R em relação à quantidade de brinquedos vendidos.
Resposta:
R(q) = q²- 7q = 8
R(q) = q² - 7q – 8
R’(q) = 1.(2q²-¹) – 7.(1) – 0
R’(q) = 2q – 7
1) Y= c → Y'= 0 |
2) Y = x → Y'= 1 |
3) Y= x p → Y' = Pxp-1 |

Qual será a receita se a quantidade de brinquedos vendidos ultrapassar 1.000 unidades?...
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