Funções

Material e Lista de C´ lculo I (Limites) a Limite
Ao estudarmos o limite de uma funcao em um determinado ponto, queremos saber qual o comporta¸˜ mento da funcao ao redor deste ponto.
¸˜
Definicao 1 Seja f (x) definida em um intervalo aberto em torno de x0 , exceto talvez em x0 . Dizemos que
¸˜
f (x) tem limite L quando x tende a x0 (ou seja, x se aproxima de x0 ), e escrevemos limx→x0 f (x) = L, se para cada n´ mero > 0, existir um n´ mero correspondende δ > 0 tal que, para todo os valores de x tais u u que: 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − L| < .
Graficamente, isto significa que a imagem de f (x) est´ perto de L quando o x est´ perto de x0 . a a
Exemplo Dada a funcao f (x) pelo gr´ fico abaixo:
¸˜
a

Valem as seguintes afirmacoes:
¸˜
(i) o limx→2 f (x) existe e vale 1, apesar de que o valor de f (2) = 0.
(ii) o limx→1 f (x) n˜ o existe, pois se x se aproxima por valores maiores que 1, sua imagem se aproxima de a zero e se x se aproxima por valores menores que 1, sua imagem se aproxima do -2.
(iii) o limx→x0 f (x) existe para x0 ∈ (−1, 1).
(iv) o limx→x0 f (x) existe para x0 ∈ (1, 3).
Para calcular um limite, sem ter que usar a definicao, utilizamos das propriedades dos limites.
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Propriedades de limites
´
1. O limite de uma constante e a pr´ pria constante (limx→a k = k). o ´
2. O limite da funcao identidade(f (x) = x) e o valor da tendˆ ncia (limx→a x = a)
¸˜
e
`
3. O limite de uma soma de funcoes e igual a soma dos limites dessas funcoes(limx→a [f (x) + g(x)] =
¸˜ ´
¸˜
limx→a f (x) + limx→a g(x))
`
4. O limite de uma diferenca de funcoes e igual a diferenca dos limites dessas funcoes(limx→a [f (x) −
¸
¸˜ ´
¸
¸˜ g(x)] = limx→a f (x) − limx→a g(x))

´
5. O limite de um produto e igual ao produto dos limites(limx→a [f (x).g(x)] = limx→a f (x). limx→a g(x))
´
6. O limite de um quociente e igual ao quociente dos limites(limx→a

limx→a f (x) f (x)
=
) g(x) limx→a g(x)

´
`
7. O limite de uma potˆ ncia e igual a