Fisica

Aula 2 Derivadas e retas tangentes. Novas regras de deriva»~o ca
2.1 A derivada como inclina»~o de uma reta tangente ca ao gr¶¯co da fun»~o a ca

Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav¶s do conceito de velocidade e instant^nea. Veremos agora uma interpreta»~o geom¶trica da derivada, em rela»~o ao a ca e ca gr¶¯co da fun»~o y = f (x). Esta ¶ uma id¶ia de Fermat. a ca e e y y = f(x) P ∆y t f( x 0) 0 α β P0

r

f( x 0 + ∆ x)

x0 ∆x

x0 + ∆ x

x

Figura 2.1. A derivada da fun»~o f , em x0 , ¶ a inclina»~o da reta t, tangente ao gr¶¯co ca e ca a de f em P0 . Fixado um valor x0 , sendo de¯nido f (x0 ), seja ¢x 60 um acr¶scimo (ou de= e 11

Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao »~ cr¶scimo) dado a x0 . Sendo x1 = x0 + ¢x, temos que a raz~o e a f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) f(x1 ) ¡ f (x0 ) ¢y = = ¢x ¢x x1 ¡ x0

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¶ o coe¯ciente angular da reta r, secante ao gr¶¯co da curva y = f (x), passando pelos e a pontos P0 = (x0 ; f(x0 )) e P = (x1 ; f(x1 )). Observando os elementos geom¶tricos da ¯gura 2.1, temos que quando ¢x tende e a 0, o ponto P tem como posi»~o limite o ponto P0 , e a reta secante P0 P ter¶ como ca a posi»~o limite a reta t, tangente ao gr¶¯co de f no ponto P0 . ca a Na ¯gura, temos ainda, da geometria anal¶ ³tica elementar, tg ¯ = tangente do ^ngulo ¯ a = coe¯ciente angular (ou inclina»~o) da reta secante P0 P ca ¢y = : ¢x tg ® = tangente do ^ngulo ® a = coe¯ciente angular da reta t, tangente ao gr¶¯co de f , no ponto P0 : a Note aqui diferentes empregos (com diferentes signi¯cados) da palavra tangente: a tangente (trigonom¶trica) do ^ngulo ®, nos d¶ a inclina»~o, ou declividade, ou coe¯ciente e a a ca angular, da reta t, que ¶ (geometricamente) tangente ao gr¶¯co de f (ou que tangencia e a o gr¶¯co de f) no ponto P0 . a Quando ¢x tende a 0, ¯ tende a ®, e ent~o a Da¶ lim ³, ¢y = tg ®. ¢x!0 ¢x
¢y ¢x

= tg ¯ tende a tg ®.

Assim, com este argumento geom¶trico e intuitivo, interpretamos f 0 (x0 ) =