Fisica

C´lculo Diferencial e Integral I - Engenharia de Produ¸˜o a ca Professor Em´ ılio Lista de Exerc´ ıcios 6 1. Calcule os seguintes limites, caso eles existam. Se o limite n˜o existir, justifique. a |x − 1| (a) lim Resp.: 1 x→1+ x − 1 |x − 1| Resp.: −1 (b) lim − x − 1 x→1 |x − 1| (c) lim Resp.: x→1 x − 1 x2 − 2x + 1 (d) lim Resp.: 1 x→2+ x−1   x + 1 se x ≥ 1 f (x) − f (1) (e) lim Resp.: 1 , onde f (x) =  2x se x < 1 x→1+ x−1 (f) lim x→1 f (x) − f (1) , sendo f como acima. x−1

Resp.:

2. Esboce o gr´fico de f e ache cada limite, caso ele exista: x → 1− , x → 1+ e x → 1. a   x2 − 1 se x < 1 (a) f (x) = Resp.: 0, 3 e  4 − x se x ≥ 1   3x − 1 se x ≤ 1 (b) f (x) = Resp.: 2, 2 e 2  3 − x se x > 1   x3 se x ≤ 1 (c) f (x) = Resp.: 1, 2 e  3 − x se x > 1   |x − 1| se x = 1 (d) f (x) = Resp.: 0, 0 e 0  1 se x = 1   x2 + 1 se x < 1    (e) f (x) = 1 se x = 1 Resp.: 2, 2 e 2     x + 1 se x > 1 3. Um pa´ taxa em 15% a renda de um indiv´ ıs ıduo at´ $20000 e em 20% a renda acima e daquele limite. 1

(a) Determine uma fun¸ao T definida por partes para o imposto total sobre uma renda c˜ x de d´lares. o (b) Encontre
Resp.: T (x) = 0, 15x se x ≤ 20000 e T (x) = 0, 2x − 1000 se x > 20000

x→20000−

lim

T (x) e

x→20000+

lim

T (x).

Resp.: $3000 e $3000

4. Uma companhia telefˆnica debita 25 centavos pelo primeiro minuto de liga¸ao inteo c˜ rurbana, e 15 centavos para cada minuto adicional. (a) Determine uma fun¸ao C definida por partes para o custo total de uma liga¸˜o de x c˜ ca minutos.
Resp.: C(x) = 25 + 15n se n < x ≤ n + 1, com n natural Resp.: 25+15(n−1)

(b) Se n ´ um inteiro maior do que 1, determine: lim− C(x) e lim+ C(x). e x→n x→n e 25 + 15n

5. Consideremos f uma fun¸ao definida em um intervalo aberto I contendo um ponto a, c˜ exceto possivelmente em a. Suponhamos que lim f (x) = L, em que L ´ um n´mero real e u x→a positivo. Explique com suas palavras (ou mostre geometricamente) por que podemos afirmar que existe