fisica

CÁLCULO DIFERENCIAL
Centro Universitário de Belo Horizonte

ENG. ELÉTRICA – PROFª: CLEIDE PERÔNICO

DERIVADA

1) TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO
Seja f uma função definida num intervalo D e sejam x0 e x0 + x dois pontos de
D. Quando x passa do ponto x0 para o ponto x0 + x , o correspondente valor da função passa de f(x0) para f(x0 + x), sofrendo uma variação y.
GRÁFICO:

x = incremento ou variação de x y = incremento ou variação de y x = (x0 + x) - x0 y = f(x0 + x) – f(x0)

O quociente

é chamado de TAXA MÉDIA DE

VARIAÇÃO da função entre os pontos x0 e x0 + x.

EXEMPLO:

f(x) = x2 + 1

x0 = 1 e x0 + x = 4

2) DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO:

DEFINIÇÃO: Seja f uma função contínua, definida num intervalo aberto I e seja x0 um ponto de I.
Chama-se DERIVADA da função f no ponto x, o limite da razão dos incrementos, quando tal limite existir:

Esse limite é a taxa de variação instantânea de f.
Quando esse limite existe (é um número real), dizemos que a função f é derivável no ponto x0 e representamos por:
Leibnitz:

ou

Lagrange: f ’ (x0) ou y ‘

EXEMPLOS:

a)

b)

e x0 = 2

e x0 = 4

3) INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:

Seja t uma reta tangente ao gráfico de uma função f, passando por
A(x0 , y0). Seja B outro ponto de f.
Quando B se aproxima de A, x tende a zero, então a derivada da função f no ponto x0 é o coeficiente angular da reta t (at).

GRÁFICO:

Portanto, a derivada de uma função f, num ponto dado x0, representa o coeficiente angular da reta tangente à curva configurativa dessa função, no tal ponto considerado.
Para determinar a equação da reta tangente t, fazemos:

EXEMPLO:

Determinar a equação da tangente da função

no ponto