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Aula 4 – Concavidade e pontos de inflexão do gráfico de uma função

O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva.
Na figura abaixo, observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos próximos de c o gráfico de f estará acima da tangente à curva no ponto P (c, f(c)). Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a,b).

Como f ´(x) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se na figura abaixo que no intervalo (a,b) a derivada f´(x) é crescente.

Geometricamente falando isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita.

Analogamente, o mesmo vale para uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo (a,b).

Na figura b, vemos que a tangente gira no sentido horário quando nos deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ´(x) é decrescente em (a, b).

Assim temos as seguintes definições:

DEFINIÇÃO 1: Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a,b), se f´(x) é crescente nesse intervalo.

DEFINIÇÃO 2: Uma função f é côncava para baixo no intervalo (a,b), se f´(x) for decrescente neste intervalo.

Derivada crescente  variação da derivada maior que zero  f  (x) > 0
Derivada decrescente  variação da derivada menor que zero  f  (x) < 0

Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada para cima ou para baixo, auxilia muito no traçado de seu gráfico. Faremos isso, analisando o sinal da segunda derivada, ou seja, f´´(x).

PROPOSIÇÃO: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até segunda ordem no intervalo (a,b):

a) Se f´´(x) > 0 para todo x Є (a, b), então f é côncava para cima no intervalo (a,b).
b) Se f´´(x) < 0 para todo x Є (a, b), então f é côncava para baixo no intervalo (a,b).

Podem existir pontos em uma função na qual o gráfico muda de sentido ( de côncava para cima para