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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
´
INSTITUTO DE MATEMATICA
Departamento de Matem´tica Pura e Aplicada
a
MAT 01353 C´lculo e Geometria Anal´
a
ıtica IA

GEOMETRIA ANAL´
ITICA
ˆ
CONICAS

Janice Nery
Liana Costi N´cul
a
Luisa Rodr´
ıguez Doering
Maria Fernanda Recena Menezes

PORTO ALEGRE
Julho/2005

Conte´ do
u

1

Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca

1

2

Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico . . . . . . . . . . . . . . .
ca
o
e

2

3

Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
o
o

3

4

Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k ) . . .
ca
o
o
e

5

5

Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
o5

6

Exerc´
ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

7

Par´bola × Ensino M´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
e

10

8

Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

9

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Se¸˜es Cˆnicas
co
o
1

Introdu¸˜o
ca

Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ uma curva obtida cortando-se qualquer
ca o
o
e
cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice, chamado de planosecante.
a
e

• Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do
e
cone, a cˆnica ´ uma par´bola.
o
e
a

• Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz
ae
e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´
o
o
e
uma elipse.

• Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geraae
triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma
o
e
hip´rbole.
e

No caso de um plano que passa pelo v´rtice do coneobtemos, como ´ f´cil visualie
ea
zar, um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes. Estas s˜o chamadas cˆnicas
a
o
degeneradas, que n˜o ser˜o estudadas neste curso.
a
a
Na p´gina http://www.mat.ufrgs.br/~ calculo/calculo1.html do C´lculo I A, h´
a
a
a
um link chamado Um Estudo de C^nicas, onde pode ser encontrada esta apostila, bem
o
como defini¸˜es, exemplos, constru¸˜es e anima¸˜es que ajudam oaluno a ter uma melhor
co
co
co
compreens˜o e visualiza¸˜o deste assunto. Sempre que um assunto aqui abordado tiver
a
ca
algo relacionado naquela p´gina, isto ser´ explicitado. Por exemplo, para ter uma id´ia
a
a
e
ca
dos planos secantes cortando o cone em ˆngulos variados, veja Introdu¸~o .
a

C´lculo IA – Cˆnicas
a
o

2

c

Instituto de Matem´tica – UFRGS
a

Defini¸˜o das Cˆnicas como LugarGeom´trico
ca
o
e

Estudaremos as se¸˜es cˆnicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos defini¸˜es
co
o
co
equivalentes `s anteriores — mas que se referem somente ao plano no qual est´ a curva
a
a
— e que dependem de pontos especiais desse plano, chamados focos da curva.
• Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a soma d1 + d2
e
das distˆncias d1 e d2 , respectivamente,de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos
a
da elipse.
P

d1

d2

F
1

F2

d1 + d2 = constante

• Hip´rbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante o m´dulo
e
e
o
da diferen¸a |d1 − d2 | das distˆncias d1 e d2 , respectivamente, de P a dois pontos fixos F1
c
a
e F2 , chamados focos da hip´rbole.
e

P
d2

d1
o

o

F1

F2

|d1 − d2 | = constante

• Par´bola: conjunto detodos os pontos P do plano tais que a distˆncia d1 de P a
a
a
um ponto fixo F, chamado foco da par´bola, ´ igual ` distˆncia d2 de P a uma reta fixa
a
e
a
a
D , chamada diretriz da par´bola.
a
D

d2

P

d1

F

d1 = d2

Note que as duas primeiras cˆnicas s˜o sim´tricas em rela¸˜o ` reta que passa pelos
o
a
e
ca a
2

C´lculo IA – Cˆnicas
a
o

c

Instituto de Matem´tica – UFRGS
a

focos e a par´bola ´...
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