exercicios de calculo 4

Um triângulo é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves (segmentos de reta) C1, C2 e C3.
C1 :. r(t) = (1–2t, 1) t[0, 1] r’(t) = (-2, 0)
C2 :. r(t) = (-1+t, 1-2t) t[0, 1] r’(t) = (1, -2)
C3 :. r(t) = ( t, -1+2t) t[0, 1] r’(t) = (1, 2)

C
F . dr = 
C1
F . dr + 
C2
F . dr + 
C3
F . dr =

1
0
(-1, 1-2t) . (-2, 0) dt + 
1
0
(-1+2t, -1+t) . (1, -2) dt + 
1
0
(1-2t, t) . (1, 2) dt =
= 
1
0
2 dt + 
1
0
(-1 + 2t + 2 - 2t) dt + 
1
0
(1-2t + 2t) dt =
= 
1
0
2 dt + 
1
0 dt + 
1
0 dt = 2t 1
0
+ t 1
0
+ t 1
0
= 2 + 1 + 1 = 4

Exemplo 2: Calcule C x2 dx + y2 dy + z2 dz sendo C o arco da hélice dado pela função vetorial r(t) = ( 4cos t, 4sen t, 8t) t[0, 2 ] x = 4cos t ; y = 4sen t ; z = 8t dx = -4sen t ; dy = 4cos t ; dz = 8
C
x2 dx + y2 dy + z2 dz =
= 
2
0
16cos2t (-4sen t) dt + 16sen2t 4cos t dt + 64t2 8dt =
= 64/3 cos3 t + 64/3 sen3 t + 512/3 t3
2
0 =
= 64/3 (13 - 13) + 64/3(0 – 0) + 512/3 (2 )3 = 4096/3 3

Exemplo 4
Calcule a integral 2
C
∫ xy ds , na qual C é o quarto de circunferência no primeiro quadrante, com centro na origem do plano cartesiano e de raio 1.
Solução:
O primeiro passo é obter a parametrização de C. A figura 12 representa a curva em estudo.
Figura 12: Quarto de circunferência de raio 1
Lembre-se de que na conversão de coordenadas retangulares para coordenadas polares, temos x = r cosθ e y = rsenθ
Considerando o ângulo como o parâmetro t e sendo o raio da circunferência igual a 1, as equações paramétricas da curva C são: x = cos t e y = sent , em que (0 ≤ t ≤π 2)
Da definição para o cálculo de integrais, precisamos ainda determinar r '(t) , na qual r(t) = cos(t)i + sen(t) j . Assim, r '(t) = −sen(t)i + cos(t) j e a norma do vetor derivada é:
2 2 2 2 r '(t) = (−cos(t)) + (sen(t)) = cos (t) + sen (t) = 1 =1
Finalmente:
2
2
2 2 3
0
0
1 1 cos( ) ( ) 1 ( )
C 3 3 xy ds t sen t dt sen t
= ⋅ ⋅ =   =   ∫ ∫ π π
Essa