Exercicios analise real

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MAT0206/MAP0216 - An´lise Real - IME - 2007 a Prof. Gl´ucio Terra a 1a Lista de Exerc´ ıcios - Resolu¸˜o dos Exerc´ ca ıcios 2, 11 e 16

2-)

(a) Sejam X e Y conjuntos, e denote por F(X, Y ) o conjunto de todas as fun¸˜es de X em Y . Prove co que, se X for finito e Y enumer´vel, ent˜o F(X, Y ) ´ enumer´vel. a a e a . (b) Dada f : N → N, seja Af = {n ∈ N | f (n) = 1}. Seja X o conjunto formadopor todas as fun¸˜es co f : N → N tais que Af ´ finito. Prove que X ´ enumer´vel. e e a Demonstracao: ¸˜ (a) Os casos em que X ´ vazio ou Y ´ finito s˜o triviais (nestes casos F(X, Y ) seria finito, sendo e e a X×Y ). Suponha, pois, que X seja finito com n elementos e Y seja um subconjunto do conjunto finito 2 infinito enumer´vel. Tomando bije¸˜es φ : In → X e ψ : N → Y , a aplica¸˜o f ∈ F(X, Y ) → ψ −1◦ f ◦ φ a co ca ca ca ´ uma bije¸˜o F(X, Y ) → F(In , N); por meio desta bije¸˜o, a demonstra¸˜o fica reduzida a provar que e ca F(In , N) ´ enumer´vel. Ora, F(In , N) = Nn (i.e. produto cartesiano de n fatores N) ´ enumer´vel (isto e a e a foi provado em aula para n = 2; o caso geral segue por indu¸˜o sobre n. Ou diretamente, pelo seguinte ca argumento: tome p1 , . . . , pn ∈ N primos distintos,e F : Nn → N dada por F : (x1 , . . . , xn ) → n pxi ; i=1 i ent˜o F ´ injetiva, pela unicidade da decomposi¸˜o em fatores primos). a e ca (b) Para cada Y ⊂ N finito, denotemos por AY o conjunto {f ∈ X | Af = Y }. Ent˜o X ´ a a e reuni˜o da fam´ {AY | Y ⊂ N finito}. Verifiquemos que esta fam´ ´ enumer´vel e que cada AY ´ a ılia ılia e a e enumer´vel; ent˜o seguir´ que X ´ enumer´vel, sendo a reuni˜ode uma fam´ enumer´vel de conjuntos a a a e a a ılia a enumer´veis. Com efeito, dado Y ⊂ N finito, a aplica¸˜o F(Y, N) → AY dada por f → f , onde f a ca ´ a extens˜o de f que ´ constante e igual a 1 em N \ Y , ´ uma bije¸˜o; ora, j´ foi demonstrado no e a e e ca a item anterior que F(Y, N) ´ enumer´vel. Resta mostrar que {Y ⊂ N | Y finito} ´ enumer´vel. Tal e a e a conjunto ´ a reuni˜o da fam´enumer´vel {Y ⊂ N | Y tem n elementos}n 0 . Ora, para cada n ∈ N, e a ılia a . An = {Y ⊂ N | Y tem n elementos} ´ enumer´vel, pois a aplica¸˜o f ∈ F(In , N) → f (In ) ∈ An ´ e a ca e sobrejetiva e j´ demonstramos que F(In , N) ´ enumer´vel. Ent˜o segue-se que {Y ⊂ N | Y finito} ´ a e a a e enumer´vel, sendo a reuni˜o de uma fam´ enumer´vel de conjuntos enumer´veis. a a ılia a a

11-)

Seja p ∈ R, p> 1. Mostre que ´ enumer´vel e denso em R o conjunto dos n´meros reais da forma e a u n , com m ∈ Z e n ∈ N. m/p Demonstracao: ¸˜ a (i) Seja X o conjunto dos n´meros reais da forma m/pn , com m ∈ Z e n ∈ N. Ent˜o (m, n) ∈ u n ∈ X ´ sobrejetiva, portanto X ´ enumer´vel, uma vez que Z × N ´ enumer´vel, por Z × N → m/p e e a e a ser o produto cartesiano de dois conjuntos enumer´veis. Resta mostrarque X ´ denso em R. a e (ii) ∀ǫ > 0, ∃ n ∈ N tal que pn > desigualdade de Bernoulli.
1 ǫ



1 pn

< ǫ; isto j´ foi demonstrado em aula, usando a a

(iii) Seja (a, b) um intervalo aberto; queremos mostrar que existe um elemento de X neste intervalo. Tomando-se, no item anterior, ǫ = b − a, conclui-se que existe n ∈ N tal que p1 < b − a. n 1

(iv) Suponha b > 0. Como R ´ arquimediano,existe m ∈ N tal que m · p1 > b, de modo que o e n . 1 b} ´ n˜o-vazio; pelo princ´ e a ıpio da boa ordena¸˜o, A possui um ca conjunto A = {m ∈ N | m · pn m0 −1 m0 −1 elemento m´ ınimo m0 . Afirmo que pn ∈ (a, b). Com efeito, tem-se pn < b, pela minimalidade 0 −1 0 0 −1 0 −1 a, ter-se-ia mn − mpn = p1 b − a. Assim, mpn > a , o que conclui a de m0 ; se fosse mpn n p prova da afirma¸˜o. ca (v) Se b 0,tem-se −a > 0; assim, pelo item anterior existe um elemento m/pn de X no intervalo (−b, −a), donde −m/pn ∈ (a, b).

16-)

Um conjunto G de n´meros reais chama-se um grupo aditivo quando 0 ∈ G e x, y ∈ G ⇒ x − y ∈ G. u Ent˜o x ∈ G ⇒ −x ∈ G e x, y ∈ G ⇒ x + y ∈ G. a Seja G um grupo aditivo de n´meros reais, e denote por G+ o conjunto dos elementos positivos de u G. Suponha G = {0}, de modo que G+...
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