Exatas

1. (UERJ) Durante um período de 8 horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

- Nas t primeiras horas, diminui sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior.
- Nas (8-t) horas restantes, diminui 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.

Calcule:
a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t=2

b) O valor de t, admitindo que, ao final do período de 8 horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia inicialmente.

Considere log2=0,30 e log3=0,48

a) Vamos chamar de Q a quantidade inicial de frutas

depois de 1 hora a quantidade fica:

Q-0,20Q= Q(1-0,20)

depois de duas horas a quantidade será

Q(1-0,20) - 0,20 Q(1-0,20)= Q(1-0,20)

assim depois de t horas a quantidade será

F(t)= 0,8(1-0,20) Q

F(t)= 0,8.08Q

Q.(0,8) 2  F(k)= Q( 0,80)t

Como a quantidade inicial era Q logo depois de 2 horas resta 0,64 de Q ou 64% da quantidade inicial.

Q= Quantidade inicial de frutas

1 hora;
Q - 0,20Q = Q ( 1 - 0,20 )

2 horas;
Q ( 1 - 0,20 ) - 0,20 . Q ( 1 - 0.20 ) = Q ( 1 - 0,20 ) 2

Depois de t horas
F(t)= Q( 1 - 0,20 )t = t = Q .0,80 t

Sendo assim depois de 2 horas ficará

F (t) = Q.0,82 = 0,64 Q ou 64 % 0,64Q ou seja 64% de quantidade inicial

RESPOSTA 64%

b) Seja um determinado valor de t que vamos chamar de k. Assim depois de k horas a quantidade de frutas será

Q( 0,80)t k horas Q( 0,80)k
|_________|_______|___________|
8-t

porem depois de K horas a quantidade diminui num ritmo de 10% ou seja existe
Q( 0,80)k

inicio : Q( 0,80)k
Tempo k
Depois :

i) Q( 0,80)k - 0,10Q( 0,80)k

Q( 0,80)k ( 1-010 )

ii) Q( 0,80)k - (1-010) - 0,1Q( 0,80)k (1-010)

0,9 Q( 0,80)k (1-010)
0,9.0,9( 0,80)k

( 0,80)k ( 0,9)2
F(k) = ( 0,80)k ( 0,9)t-k