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COMBINAÇÃO LINEAR


Uma expressão da forma a1u1 + a2u2+ . . . +anun = w, onde a1, a2, . . . ,an são escalares e u1, u2, . . .,un e w, vetores do (n chama-se combinação linear.
Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), v1, v2,...,vn ( V e a1,...,an, números ( (ou complexos).
Então o vetor [pic] é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear dev1,...,vn.

W = [ v1,...,vn] é chamado subespaço quando por v1,...,vn.

Por exemplo, os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial R3, pois qualquer vetor (a, b, c) ( R3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, especificamente:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações linearesresultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.

Exemplos.:
1) Sejam [pic] e os escalares a1 = 2 e a2 = -1. Podemos encontrar um vetor [pic]= (x, y) que seja combinação linear de [pic]
[pic](x, y) = 2.(3, 1) + (-1).(2, 4) = (4, -2) = [pic]

2) Sejam os vetores [pic]= (1, -3, 2) e[pic]= (2, 4, -1).
O vetor [pic]= (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de [pic].
(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)


[pic]



COMBINAÇÕES LINEARES E SUBESPAÇOS GERADOS

Seja um vetor espaço vetorial. Considere um subconjunto [pic]( V, com A ( (. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial deV. O subespaço diz-se gerado por [pic] Ou seja:

S = G (A) ou [pic]

Os vetores v1,...vn são chamados geradores de S e A é o conjunto gerador.


Exercícios:

1) Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espaço vetorial (2, pois qualquer (x, y) ( ( é combinação linear de i e j.

(x, y ) = x.(1, 0) + y.(0, 1) = (x, y)
[ i, j ] = (2

2) Os vetores [pic]=(1, 0, 0), [pic] =(0, 1,0) e [pic] =(0, 0, 1) geram o espaço vetorial (3.
(x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1)


Obs.: i, j e k são chamados de vetores unitários, e também podem ser representados por e1, e2, e3.


3) Seja V = (3. Determinar o subespaço gerado por v1 = (2, 1, 3).
[ v1 ] = { (x, y, z) ( (2 / (x, y, z) = a.(2, 1, 3), a ( ( }
[pic]
Obs.: O subespaço gerado por umvetor v, ( (3, v1 ( 0, é uma reta que passa pela origem.


4) Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = { (1, 0, 0) , (0, 0, 1) }.
[pic](x, y, z) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 0, 1).
(x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, 0, a2) = (a1, 0, a2) ( x = a1
y = 0z = a2

S = { (x, y, z) ( (3 / y = 0 }
S = { (x, o, z) ( (3 / x, z (( }
Obs.: S é o plano xz



DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR


Definição. Seja V um espaço vetorial e [pic] V. Dizemos que o conjunto A={[pic]} é linearmente independente (LI) ou os vetores [pic]são L.I. se a equação: [pic]( implica que [pic].
No caso em que exista algum [pic] é linearmente dependente(LD) ou que os vetores v1, v2, ... , vn são L.D.
Em outras palavras, seja um conjunto de vetores de mesma dimensão:

[pic]

Se a única combinação linear que resulte no vetor nulo

[pic]

for a trivial, isto é, aquela em que os coeficientes são nulos:

[pic]

então dizemos que os vetores vN são linearmente independentes. Por outro lado, se houver alguma combinação que produza ovetor nulo, em que os coeficientes não se anulam, então dizemos que os vetores vN são linearmente dependentes.

Exemplos em R3:

• v1 e v2 são dependentes se estão na mesma linha.

• v1, v2, v3 no mesmo plano são dependentes.

• v1, v2, v3 e v4 são sempre dependentes em R3.

Exercícios:

Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.

1) A = { (3, 1), (1, 2) }, V = (2
[pic]

2) A...
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