estudo

Aula 1
Equações paramétricas das cônicas
Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos
P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:

x = x + t(x − x )
1
2
1
r:
; t∈R
y = y1 + t(y2 − y1 )
Essas equações expressam os valores das coordenadas cartesianas x e y de um ponto qualquer da reta r em função de apenas uma variável, a variável t, denominada parâmetro. As retas não são as únicas curvas planas que podem ser representadas por equações paramétricas.

Definição 1
Seja C uma curva plana. Dizemos que uma aplicação γ : D −→ R2 , γ(t) = (x(t), y(t)), é uma parametrização de C se a sua imagem γ(D) coincide com C, ou seja,
C = γ(D) = {(x(t), y(t)) | t ∈ D} , onde D é um subconjunto de R (geralmente um intervalo ou uma reunião finita de intervalos).
A imagem γ(D) ⊂ R2 é também chamada o traço de γ.

Parametrização de um círculo
Seja C : x2 + y2 = r2 o círculo de centro na origem e raio r > 0.
Seja t a medida, em radianos, do ângulo P0 OP (tomada no sentido anti-horário), onde O é a origem do sistema cartesiano de coordenadas, P0 = (r, 0) é a interseção do círculo com o semi-eixo positivo OX e P = (x, y) é um ponto pertencente a C.
Considere o ponto P = (x, 0). Como o triângulo OPP é retângulo em P , as expressões das coordenadas x e y, em função do parâmetro t, são: x = x(t) = r cos t

e

y = y(t) = r sen t

Geometria Analítica II - Aula 1

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Fazendo t percorrer os valores do intervalo [0, 2π), obtemos todos os pontos do círculo.
Se quisermos, podemos considerar t percorrendo também todos os valores reais. Isto implica realizar um número infinito de voltas sobre o círculo. Portanto, uma possibilidade de equações paramétricas para o círculo
C é:

x = r cos t
C:
; t ∈ R.
y = r sen t
Note que, para qualquer valor real a = 0, as equações x = r cos(at) e y = r sen(at), com t ∈ R ,

Fig. 1: Círculo C : x2 + y2 = r2

também são equações