Estudante

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1 – SEQÜÊNCIAS:
1.1-Teste do limite:
Uma seqüência lim tem o limite e escrevemos Se o limite de lim existir, dizemos que a seqüência converge (é convergente). Caso contrário, dizemos que seqüência diverge (é divergente). Se para cada número 0 existir um correspondente inteiro tal que: | | Sempre que Se para e lim lim , então lim A seqüência é convergente se 1 1 e divergente para todos os outrosvalores de r. 0 1 1 lim 1 1 Toda seqüência limitada, monótona, é convergente.

2 – SÉRIES
2.1 – Convergência da série: Dada uma série ∑ -é soma parcial: for convergente e lim , seja sua

Se a seqüência

um número real, então a série ∑ escrevemos

existir como é denominada convergente, e

O número divergente. A

é a soma da série. Caso contrário, a série é Série ² Geométrica

Se | |1 a série geométrica é convergente e sua soma é 1 | | 1

Se | |

1, a série geométrica é divergente.

A Série Harmônica

1

1

1 2

1 3

1 4

É divergente. Se a série ∑

Porém se o lim

for convergente, então o lim

seja convergente. Se o lim não existir ou se lim divergente. A p-série ∑ é convergente se 2.2 – O teste da integral:

0. 0 não podemos concluir que asérie ∑ 0, a série ∑

é 1.

1 e divergente se

Suponha que seja uma função contínua, positiva e decrescente em 1, ∞ e seja . Então a série ∑∞ é convergente se e ∞ somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras: ∞ (i) Se for convergente, então ∑∞ é convergente. ∞ ∞ (ii) Se for divergente, então ∑ é divergente.

2.3 – Estimativa do Resto para o Teste da Integral:
Suponha ,onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e ∑ é convergente. Se , então

2.4 – O Teste de Comparação:

Suponha que ∑ e ∑ sejam série com termos positivos. (i) Se ∑ for convergente e para todo , então ∑ também será convergente. (ii) Se ∑ for divergente e para todo , então ∑ também será divergente. Suponha que ∑ e ∑ sejam série com termos positivos. Se

lim

Onde é um número eambas as séries divergem.

0, então ambas as séries convergem ou

2.5 – O teste da série alternada:
Se a série alternada

1
Satisfizer (i) para todo . (ii) lim 0 Então a série é convergente

0

2.6 – Estimativa de Séries Alternadas: ∑ Se 1
satisfaz

for a soma de uma série alternada que

(i) 0 (ii) lim Então |

|

|

0

|

2.7 – Convergência Absoluta:

Uma série ∑ échamada de absolutamente convergente se a série de valores absolutos ∑ | | for convergente. Uma série ∑ é chamada de condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente. Se uma série ∑ for absolutamente convergente, então ela é convergente. O teste da razão para uma série ∑ (i) Se lim 1, então a série absolutamente convergente (portanto converge)

2.8 – Testeda Razão:



é

(ii) Se lim (iii) Se lim ∑

1 ou lim

∞, então a série

é divergente.

a convergência ou divergência de ∑

1, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre .

2.9 – Teste da Raiz:

O teste da raiz para uma série ∑ (i) (ii) Se lim série ∑

| | Se lim 1, então a série ∑ absolutamente convergente (portanto converge) | |
é divergente.

é

|

1 ou lim

|

|∞, então a

(iii) Se lim

|

1, o teste da Raiz não é conclusivo.

2.10 – Séries de Potências: A Série de potência possui a forma:

Para uma dada série de potências ∑ existem apenas três possibilidades: (i) A série converge apenas quando . (ii) A série converge para todos . (iii) Existe um número positivo tal que a série converge se | | | diverge se | . Seja ∑ uma série de potências .Suponha que
lim Onde é um número real não-negativo ou ∞

(i) Se é um número real positivo, então 1/ . (ii) Se 0, então ∞. (iii) Se ∞, então 0. Podemos representar certas funções como uma série de potências. Se a série de potências ∑ tiver um raio de convergência 0, então a função definida por

É diferenciável (e, portanto contínua) no intervalo (i) 2 3 … ∑ (ii) 1

,

e

Os raios de...
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