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1a Lista de Exerc´ ıcios de C´lculo Num´rico a e a . Vanessa Rolnik Prof 1. Converta os seguintes n´meros decimais para sua forma bin´ria: u a (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d) 0.11 (e) 0.8125 (f) 4.609375

2. Converta os seguintes n´meros bin´rios para sua forma decimal: u a (a) 101010 (b) 111111111 (c) 10000 (d) 0.111 (e) 0.0101 (f) 10.00011

3. Considere o sistema F(10,3,4,4). Represente nestesistema os n´meros a seguir e indique o tipo u de erro quando a representa¸˜o n˜o for poss´ ca a ıvel. (a) 1234.56 (b) -0.00054962 (c) 5210065 (d) -0.00000245

4. Considere uma m´quina cujo sistema de representa¸˜o de n´meros ´ definido por: β = 10, t = 4, a ca u e m = −5 e M = 5. Pede-se: (a) qual o menor e o maior n´mero em m´dulo representados nesta u o m´quina? (b) como ser´ representado on´mero 73.758 nesta m´quina? (c) se a = 42450 e b = 3 a a u a qual o resultado de a + b? (d) qual o resultado da soma S = 42450 +
10 k=1

3

nesta m´quina? a (e) idem para a soma: S=
10 k=1

3 + 42450

(Obviamente o resultado deveria ser o mesmo. Contudo, as opera¸˜es devem ser realizadas na co ordem em que aparecem as parcelas, o que conduzir´ a resultados distintos.) a (f) o resultado daopera¸˜o: = wz/t pode ser obtido de v´rias maneiras, bastando modificar a ca a ordem em que os c´lculos s˜o efetuados. Para determinados valores de w, z e t, uma sequˆncia a a e de c´lculos pode ser melhor que outra. Fa¸a uma an´lise para o caso em que w = 100, z = 3500 a c a e t = 7. 5. Determinar a par´bola mais pr´xima dos pontos (xi , yi ) para a fun¸˜o y = f (x) tabelada: a o ca x y -3 -1 -1 0 11 2 1 3 -1

usando o m´todo dos m´ e ınimos quadrados. 6. Um oscilosc´pio, um certo comportamento peri´dico ´ observado. Fazendo as medidas obtemos o o e a tabela: Ajuste esses dados pelo m´todo dos m´ e ınimos quadrados por uma fun¸˜o G(x) da fam´ ca ılia G(x) = asenx + b cos x 1

x f(x) 7. Considere x y 2 94.8 5 98.7 8 81.3

0 -0.9

π 4

π 2

3π 4

π 1.1

1.5

3.1

3.010 74.9

14 68.7

17 64.0

27 49.3

31 44.0

35 39.1

44 31.6

(a) Atrav´s do teste de alinhamento, escolha umas das seguintes fam´ e ılias de fun¸˜es que melhor co bx , 1/(a + bx), x/(a + bx). ajusta estes dados: ae (b) Ajuste os dados acima ` fam´ de fun¸˜es escolhida. a ılia co 8. Sejam os dados: x y 0 1.000 0.5 2.119 1.0 2.910 1.5 3.945 2.0 5.720 2.5 8.695

Estime o valor de f(2.2): (a) atrav´s de um polinˆmio interpolador de Newton de segundo grau; e o (b) atrav´s de um polinˆmio interpolador de Lagrange de segundo grau; e o (c) resolvendo o sistema linear. Calcule uma aproxima¸˜o para o erro. ca 9. Com que grau de precis˜o podemos calcular e15 usando interpola¸˜o sobre os pontos: x0 = a ca 10, x1 = 20, x2 = 30 ? Calcule o polinˆmio interpolador e compare seu valoraproximado com o o exato. Use 6 casas decimais. 10. Considere as seguintes tabelas para uma mesma fun¸˜o: ca Tabela 1: 1.1 2.6 10 13

x f(x)

0 -1

3.4 15

4.5 24

x f(x)

0 -1

Tabela 2: 1.1 2.6 3.4 10 13 15

4.5 24

5.8 34

(a) Deseja-se obter o polinˆmio interpolador para a tabela (1) e depois para a tabela (2), de o modo a fazer o menor n´mero de opera¸˜es. Qual o m´todoideal? Justifique. u co e (b) Calcule os polinˆmios interpoladores para as tabelas (1) e (2) usando o m´todo escolhido no o e item a). 2

11. Seja P3 (x) o polinˆmio interpolador para os dados (0, 0), (0, 5; y), (1, 3) e (2, 2). Encontre y para o o caso em que o coeficiente de x3 em P3 (x) ´ 6. e 12. A equa¸˜o erf (z) ´ definida pela integral ca e erf (z) = 2 π
z 0

e−t dt

2

sendo encontradacom frequˆncia na teoria de probabilidades, erros de observa¸˜o, refra¸˜o, e ca ca condu¸˜o de calor, etc. Usando os dados da tabela abaixo, determine uma aproxima¸˜o para ca ca erf (0, 14) usando um polinˆmio interpolador de grau 3. o z erf(z) 0,00 0,00 0,05 0,06 0,10 0,11 0,15 0,17 0,20 0,22

13. Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma fun¸˜o em um ponto x0 , quando n˜o ca a se...
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