Estatística e Probabilidade

2. Probabilidade

2.1. Função de Probabilidade

Definição É a função P que associa a cada evento de F um número real pertencente ao intervalo [0,1], satisfazendo aos axiomas:
I) P() =1
II) P(AB) = P(A) + P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos.
III) , se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos.

Observamos pela definição que para todo evento A, A  .

2.2. Teoremas

T.1

“Se os eventos A1, A2,..., An formam uma partição do espaço amostral, então:

Demostração:
Pela definição de partição, os eventos A1, A2,..., An são mutuamente exclusivos e .
Logo: . Usando os axiomas I e III da definição, temos:

T.2

“Se  é o evento impossível, então P() = 0”

Demostração:
Como    =  e    = , temos:
Obs. A recíproca não é verdadeira, pois o fato de P(A) = 0 não implica que A seja impossível.

T.3

(Teorema do Evento Complementar). “Para todo evento A , .”

Demostração:
Como temos:

T.4

(Teorema da Soma). “Sejam A   e B  . Então: .”

Demonstração: Escreveremos os eventos (AB) e A como reuniões de eventos mutuamente exclusivos, como segue:

Usando o axioma, temos:

De (2) tiramos: .
Substituindo-se esse resultado em (1) chegamos a:

Se então vale o axioma II

T.5

“Para A   e B  . Temos: .”

T.6

“Dado o espaço amostral  e os eventos A1, A2,..., An , então:
.”

T.7

“Dados os eventos A1, A2,..., An , então:
.”

Exemplos de Aplicação

1) Sendo P(A) = x, P(B) = y e P(AB) = z, calcular:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;

Resolução:

a)
b)
c) ;
d) ;

2) Sejam A, B e C eventos tais que , , e . Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

Sabendo que:

Resolução: 2.3. Eventos Equiprováveis

Consideremos o espaço amostral  = {e1, e2, e2,... en} associado a um experimento aleatório.
Chamemos P(ei) = pi, i = 1,...,n. Temos

Definição.
Os