Estatistica ii

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ESTATÍSTICA II

1

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

PRO 2711 ESTATÍSTICA II
Prof. Alberto W. Ramos

SÃO PAULO, 2010

© ALBERTO W. RAMOS

ESTATÍSTICA II

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Revisão do Cálculo de Probabilidades

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PROBABILIDADE

DETERMINÍSTICOS

FENÔMENOS

PROBABILÍSTICOS

Definições: a)Espaço Amostral (S): conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno probabilístico. Ex.: lançamento de dado à S = {1,2,3,4,5,6} b) Evento (A,B,C,...): qualquer subconjunto de S. Ex.: P = ponto par = {2,4,6} I = ponto ímpar = {1,3,5} T = ponto maior que três = {4,5,6}

Obs.: S = evento certo Ø = evento impossível

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OPERAÇÕES COM EVENTOS
a)Evento intersecção: A ∩ B Ex.: P ∩ T = {4,6} (ambos ocorrem)
S A B A ∩B

b) Evento união: A ∪ B Ex.: P ∪ I = {1,2,3,4,5,6} = S (pelo menos um ocorre)
S A B A∪B

c) Evento complementar: A Ex.: P = {1,3,5} = I (P não ocorre)
S A

A

c) Eventos mutuamente exclusivos: A ∩ B = Ø Ex.: P ∩ I = Ø (P e I não ocorrem ao mesmo tempo)
S A B

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5DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
É um número real, associado a um evento, que mede sua chance de ocorrência:

P( A ) =
onde:

m n

• m é o número de resultados favoráveis a A • n é o número de resultados possíveis, desde que igualmente prováveis

Observações: a) 0 ≤ P(E) ≤ 1 b) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) c) P( A ) = 1 - P(A)

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PROBABILIDADE CONDICIONADANotação: P(A/B) → Definição: P(A/B) = ou P(B/A) = logo: P(A∩B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B) probabilidade do evento A, sabendo-se que o evento B ocorreu

P( A ∩ B) , P(B) ≠ 0 P(B)

P( A ∩ B) , P(A) ≠ 0 P( A )

Se P(A/B) = P(A/ B ) = P(A) ⇒ o evento A é estatisticamente independente de B ⇒ P(B/A) = P(B/ A ) = P(B) Neste Caso: P(A∩B) = P(A) . P(B)

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ESTATÍSTICA II7

EXEMPLO Seja o lançamento de dois dados, com A: dar ponto 1, 2 ou 3 no primeiro dado e B: dar soma ≤ 6. Calcular P(A/B) e P(B/A).

A∩B

B

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) S= (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

P( A ) =

18 1 = 36 2A 15 5 P(B) = = 36 12
1 3 5 12

P( A ∩ B) =

12 1 = 36 3

P( A ∩ B) P(A/B) = = P(B)

=

12 4 = 15 5

P( A ∩ B) P(B/A) = = P( A )

1 3 1 2

=

2 3

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TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
Sejam A1, A2, ..., An eventos mutuamente exclusivos e exaustivos (partição) e seja B um evento qualquer de S.

A1

A2

A3

S

B A4
n

...
nAn

B = U A i ∩ B ⇒ P(B) = ∑ P( A i ∩ B)
i =1 i =1

 ∴ P(B) = ∑ P( A i ).P(B A i )
i =1

n

(TPT)

TEOREMA DE BAYES
Nas mesmas condições do Teorema da Probabilidade Total.

P( A  ) = jB

P( A j ∩ B) P(B)

P( A  ) = jB

P( A j ).P(B A j ) 

∑ P( A j ).P(BA j )
j =1

n

(TB)

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Variáveis Aleatórias

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
Uma variável aleatória (VA) é a representação dos eventos de uma partição de S através de números reais.

Exemplos: a) número de caras obtidas no lançamento de três moedas. b) soma de pontos obtida no lançamento de dois dados.

0 1 A1 A2 p VA A3

Probabilidade em S Função VA Função Probabilidade

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TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (VA)

Discreta à S finito VA
Contínua àS infinito

VA Discretas: A distribuição de probabilidade é representada pela função probabilidade, tal que: a) P(X=xi) ≥ 0, ∀xi b) c)

∑ P( X = xi ) = 1
i

xi >a

∑ P( X = xi ) = P(a < X ≤ b)

b

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EXEMPLO Seja X o número de caras (K) obtidas...
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