Escoamento

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Equação de Bernoulli Vamos considerar um fluido com densidade ρ constante, em escoamento estacionário em uma tubulação sem derivações (Fig.18).

Sejam duas porções de fluido, ambas com volume V e massa ρV, uma na posição 1 e outra na posição 2. Num referencial fixo na tubulação, as energias dessas duas porções de fluido são dadas por:
1 2 E 1 = ρV ( 2 v 1 + gy 1 )

e
1 E 2 = ρV ( 2 v 2 + gy2 ) 2

Podemos pensar na diferença E2 − E1 como a variação da energia de uma porção de fluido que se encontra antes entre as seções 1 e 2 e depois entre as seções 1' e 2' da tubulação. Então, lembrando que essa variação de energia deve ser associada ao trabalho realizado pelo resto do fluido, podemos escrever:
E 2 − E 1 = F1∆x 1 − F2 ∆x 2

ou seja:
1 1 2 ρV ( 2 v 2 + gy 2 ) − ρV ( 2 v 1 +gy 1 ) = ( P1 − P2 ) V 2

Esta expressão pode ser rearranjada, resultando:
2 1 1 P1 + ρgy1 + 2 ρv1 = P2 + ρgy 2 + 2 ρv 2 2

Esta é a equação de Bernoulli. Outra forma de apresentá-la é a seguinte:
1 P + ρgy + 2 ρv 2 = constante

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

Exemplo 1 Vamos discutir o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente queo contém, mostrando que o líquido, saindo por dois orifícios localizados simetricamente, um a uma altura ½H + z e outro a uma altura ½H − z, tem o mesmo alcance.

Tomando elementos de volume no entorno dos pontos 1 e 2, num referencial fixo no solo, com o nível de referência para a energia potencial gravitacional (zero gravitacional) passando pelo fundo do recipiente, a equação de Bernoullifornece:
2 1 1 1 P1 + ρgH + 2 ρv 1 = P2 + ρg ( 2 H + z ) + 2 ρv 2 2

Vamos considerar o volume de líquido dentro do recipiente como sendo muito grande. Assim, o módulo da velocidade com que a superfície livre do líquido se move para baixo é muito menor do que o módulo da velocidade com que o líquido escoa pelo orifício na parede do recipiente. Matematicamente, v1 vB, esta última expressão mostraque PB > PA. Assim, existe uma força resultante horizontal atuando na bola, perpendicular à direção da velocidade de translação do seu centro de massa, cujo sentido vai de B para A. Por isso, em vez de se mover num plano vertical, como um projétil, a bola se move numa trajetória que se desvia lateralmente desse plano.

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

Exemplo3
Para discutir o mecanismo de sustentação de um avião no ar, vamos considerar a atmosfera em repouso num referencial fixo no solo. As asas, assim como outras partes do avião, arrastam sempre com elas certa quantidade de ar. Contudo, para o nosso argumento, vamos supor que esse não é o caso. Desse modo, quando uma asa passa por uma região qualquer da atmosfera, os elementos de volume de ar queestão no seu caminho se afastam de suas posições, deixando-a passar, e depois voltam às suas posições originais, quando ela já tiver passado. Em um referencial fixo no avião, os elementos de volume de ar percorrem linhas de corrente que se separam, umas passando por cima e outras passando por baixo da asa (Fig.22). Devido à forma do perfil da asa, os elementos de volume de ar que passam por cimadela têm que percorrer uma distância maior do que os elementos de volume de ar que passam por baixo. Assim, se os elementos de volume de ar que passam pelos pontos genéricos A e B têm velocidades com módulos vA e vB, respectivamente, devemos ter vA > vB e um raciocínio idêntico àquele usado na discussão do chute folha seca leva à conclusão que PB > PA. Isto significa que existe uma força resultanteatuando na asa do avião, de baixo para cima, que lhe dá sustentação.

Exemplo 4
Um vaporizador de perfume é composto de um recipiente para o perfume líquido, dois tubos conectados em forma de T e uma bexiga de borracha (Fig.23).

Quando pressionamos a bexiga, o ar no seu interior é projetado para fora, passando pela região ao redor do ponto B com uma velocidade vB num referencial fixo no...
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