equações ordinarias

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Faculdade de Engenharia Mecânica
Núcleo de Projetos e Sistemas Mecânicos

M É T . M AT . AP L I C AD O S À E N G E N H AR I A M E C Â N I C A
Lista 2 - 2014/2
1- Mostre que as equações diferenciais abaixo são exatas e encontre as soluções gerais:

a) ሺ2‫ ݔ + ݕݔ‬ଷ ሻ ݀‫ + ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ ݀‫0 = ݕ‬
b) ሺ1 + ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ݀‫ݕ݀ = ݔ‬
c) ሺ2‫ି݊ܽܶ + ݔ‬ଵ ‫ݕ‬ሻ݀‫ + ݔ‬൤‫ݔ‬ൗ ଶ
݀‫0 = ݕ‬
ሺ‫1 + ݕ‬ሻ൨
2- Verificar se as equações são exatas e se forem resolver o problema de valor inicial.
௬

a) ቀ‫ ݔ‬ଶ + ቁ ݀‫ݕ 0 = ݕ݀ ݔ݈݊ + ݔ‬ሺ݁ሻ = −
௫

௘య
ଷ

b) ሺ2‫ ݁ + ݕݔ‬௬ ሻ݀‫ + ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݁ݔ‬௬ ሻ݀‫ݕ 0 = ݕ‬ሺ1ሻ = ݈݊2
c) ሺ‫ݕ − ݔ‬ሻ݀‫ + ݔ‬ሺ2‫ݔ − ݕ‬ሻ݀‫ݕ 0 = ݕ‬ሺ0ሻ = 1
3- Verificar se o fator F dado é um fator integrante da equação e resolver o problema de valor inicial para os seguintes casos:

aሻ 2ydx + xdy = 0 Fሺx, yሻ = x e yሺ0,5ሻ = 8

bሻ ሺ2‫ି ݔݕ‬ଵ − 3ሻ݀‫ + ݔ‬ሺ3 − 2‫ି ݕݔ‬ଵ ሻ݀‫ 0 = ݕ‬
‫ܨ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ݁ ‫ݕ‬ሺ1ሻ = −1

cሻ ሺ2‫ ݁ݔ‬௫ − ‫ ݕ‬ଶ ሻ݀‫ܨ 0 = ݕ݀ ݕ2 + ݔ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ = ݁ ି௫ ݁ ‫ݕ‬ሺ0ሻ = √2

4- Encontre o fator integrante e resolva a equação:

aሻ ሺx ଶ + y ଶ + 2xሻdy = 2y dx

bሻ ሺ3‫ݕ − ݔ‬ሻ݀‫ + ݔ‬ሺ3‫ݔ + ݕ‬ሻ݀‫ 0 = ݕ‬

cሻ 2‫ + ݔ݀ ݕ‬ሺ3‫ݔ2 − ݕ‬ሻ݀‫ 0 = ݕ‬

5- Encontre a solução geral das seguintes equações separáveis: aሻ ሺCos xCosyሻdx − ሺSen xSenyሻdy = 0

bሻ ‫2 = ´ݕ‬ሺ‫ ݕ‬ଶ + ‫2 − ݕ‬ሻ/ሺ‫ ݔ‬ଶ + 4‫3 + ݔ‬ሻ

cሻ ‫ + "ݕ‬ሺ‫´ݕ‬ሻଶ + 1 = 0 ሺobservação: y”=dy´/dxሻ 6- Encontre a solução particular para as condições indicadas:
a) 2‫ + ݔ݀ݕݔ‬ሺ1 + ‫ݕ‬ሻ݀‫ݕ 0 = ݕ‬ሺ2ሻ = 1
b) ‫ = ݎ݀ߠ݊݁ܵݎ‬ሺ1 + ‫ ݎ‬ଶ ሻ‫ݎ ߠ݀ߠݏ݋ܥ‬ሺߨ/2ሻ = 1
7- Modelando o resfriamento de um corpo em um ambiente com temperatura mais baixa :
De acordo com a Lei de resfriamento de Newton, a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura instantânea do corpo e a temperatura do meio onde este corpo está.
Uma peça cuja temperatura