eq ine

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5.

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

5.1.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações que envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente são

chamadas de equações exponenciais. Por exemplo,
1
 2
2 = ;  
16  3  x x

= 2,25; 4 x − 2 x − 2 = 0

Apresentaremos a seguir alguns exemplos de equações com a respectiva solução.
Na maioria dos casos a aplicação das propriedades de potências reduz as equações a uma igualdade de potências da mesma base a x = aα o que, usando o fato que a função exponencial é injetora, nos permite concluir a x = a α ⇒ x = α , a ∈ R *+ − {1} e portanto, resolver a equação.
Exemplos
1) Resolver as seguintes equações exponenciais
a) 2 x = 16
Solução:
2 x = 16 ⇒ 2 x = 2 4 ⇒ x = 4
∴ S={4}.

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

58

b) (100) x = 0,001
Solução:
(100) x = 0,001 ⇒ (10) 2x = (10) − 3 ⇒ 2x = −3 ⇒ x =
∴ S={ −

−3
2

3
}.
2

c) 54x −1 − 54x − 54x + 1 + 54x + 2 = 480
Solução:

(

)

54x − 1 − 54x − 54x + 1 + 54x + 2 = 480 ⇒ 54x 5− 1 − 1 − 5 + 52 = 480 ⇒ 54x (
54x = 25 ⇒ 54x = 52 ⇒ 4x = 2 ⇒ x =
∴ S={

1
2

1
}.
2

d) 9 x + 3x + 1 = 4
Solução:
9 x + 3x + 1 = 4 ⇒ 32x + 3.3x − 4 = 0
Fazendo y = 3x ,temos: y 2 + 3y − 4 = 0 ⇔ y = 1 ou y = −4
Observemos que y = −4 não satisfaz porque y = 3x > 0 .
De y = 1, temos:
3x = 1 = 30 ⇒ x = 0
∴ S = {0}.
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

96
) = 480 ⇒
5

59

e) 5.(2) x = 4 x .
Solução:
x

 4
5.(2) = 4 . ⇒   = 5 ⇒ 2 x = 5 ⇒ x = log 2 5
 2 x x

∴ S = { log 2 5 }

2) Resolver em R + as equações:

a) x x

2 −2

=1

Solução:
Inicialmente vamos verificar se 0 ou 1 são soluções da equação. Como não se define 0 −2 , x = 0 não é solução da equação.
Fazendo x = 1 na equação obtemos 1−1 = 1 o que é uma identidade e portanto, x = 1 é solução. Supondo x > 0 e x ≠ 1, podemos usar a injetividade da função exponencial xx 2 −2

= 1 ⇒ x2 − 2 = 0 ⇒ x = 2
∴ S = { 1, 2 }.

b) x 4 − 2x = x