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Desigualdades entre as m´dias (I)
e
Emanuel Carneiro
11 de dezembro de 2003
O ponto de partida para falarmos em desigualdades, s˜o, sem d´vida, as
a
u
m´dias. Come¸aremos de um modo bemsimples.
e
c
Sejam a e b dois n´meros reais positivos. Definimos suas m´dias como:
u
e
MQ =
MA
MG
MH

M´dia dos Quadrados =
e

a2 + b2
2

a+b
√2
= M´dia Geom´trica = ab
e
e
2ab
= M´diaHarmˆnica =
e
o
=
a+b
=

M´dia Aritm´tica =
e
e

1
a

2
+

1
b

Abaixo ent˜o a primeira desigualdade do nosso texto, que vai nos ajudar a
a
resolver v´rios problemas comoveremos em seguida.
a
Desigualdade 0.1. Sejam a e b reais positivos quaisquer. Vale ent˜o que:
a
MQ ≥ MA ≥ MG ≥ MH
e al´m disso, cada uma destas desigualdades ocorre se e somente se a = b.
e
Prova:Come¸aremos por demonstrar que M A ≥ M Q.
c
a+b √
≥ ab
2
2
⇐⇒ a − 2ab + b2 ≥ 0

⇐⇒

(a + b)2 ≥ 4ab ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

⇐⇒

(a − b)2 ≥ 0

o que ´ verdade e s´ ocorre quando a = b.
eo
Em seguida, abordaremos M Q ≥ M A.
2

a+b
a2 + b2

2
2

⇐⇒

a2 + b2

2

⇐⇒ 2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2

⇐⇒

a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ⇐⇒ (a − b)2 ≥ 0

a+b
2

Chegamos novamente aesta verdade, que s´ ocorre se a = b.
o
Para provarmos M G ≥ M H , poder´
ımaos proceder como acima, mas faremos
um pouco diferente j´ para familiarizar o leitor com o caso geral que vir´ em
a
apoucas p´ginas.
a
1

1
Podemos aplicar a desigualdade M A ≥ M G com os n´meros positivos
u
e
a
1
, para obter:
b
1
a

+
2

1
b



11
.
ab

a+b
1
≥√
2ab
ab

2ab
⇒ab ≥
a+b


Vimos que para esta desigualdade ocorrer devemos ter

1
1
= ou seja a = b.
a
b

Exemplo 0.1. Paladino quer cercar um terreno de forma retangular, e para
isso disp˜e de umacerca 40m. Qual ´ o maior valor da ´rea que nosso her´i
o
e
a
o
pode cercar?
Solu¸˜o: Sejam a e b os lados do retˆngulo. Como o per´
ca
a
ımetro da cerca ´
e
40, devemos ter 2a + 2b = 40 ⇒...
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