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Cálculo Numérico A - 2◦ semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi 3a Lista de Exercícios - Gabarito

1) Utilize o método de Gauss com pivoteamento parcial para encontrar a solução do seguinte sistema de equações lineares 4x + 4y = 20.5 7x + 6.99y = 34.97 no sistema F (10, 5, −10, 10). Verifique que o sistema possui solução exata que pode ser representada nesse sistema de ponto flutuante e realizeas operações de refinamento. R: Inicialmente resolvemos o sistema pelo método de Gauss com pivoteamento parcial. Na representação matricial : 4 4 20.5 34.97 ∼ ∼ = 7 6.99 4 ((−4 7 4 L1 7) ⊗ L1 ) ⊕ L2 6.99 34.97 0.518 , 34.97 20.5 = L1 L2 = L1 ((−0.57142) ⊗ L1 ) ⊕ L2

7 6.99

0 0.0058

na última passagem, realizamos o truncamento para que os resultados pertençam ao sistema F (10, 5, −10, 10).Os passos intermediários são na segunda coluna : −0.57142 ⊗ 6.99 = −3.9942 e finalmente −3.9942 ⊕ 4 = 0.0058. O mesmo para a coluna das constantes, −0.57142 ⊗ 34.97 = −19.982 e finalmente −19.982 ⊕ 20.5 = 0.518. 0.0058 = 89.310 e x = (34.97 (6.99 ⊗ 89.310)) 7 = −84.185. O −84.185 . O resíduo é dado por r0 = b − Ax0 , onde vetor solução (aproximada) é dado por x0 = 89.310 Dessa forma y = 0.518 b= .Devemos lembrar que para garantir a convergência, o resíduo deve sempre ser calculado 34.97 com precisão dupla, ou seja no sistema F (10, 10, −10, 10) e então arredondado para precisão simples, neste caso, F (10, 5, −10, 10): r0 = b − Ax0 = = 20, 5 34, 97 − 20, 5 34, 97 20, 5 34, 9819 = 4 4 ⊗ 0 −0, 0119 . −84, 185 89, 310 20.5

7 6, 99

Podemos refinar a solução através da solução do sistema Aε0= r0 , pois se a solução x0 difere da solução exata x∗ pelo vetor ε0 , x∗ − x0 = ε0 , então A(x∗ − x0 ) = r0 = Aε0 . A matriz composta do sistema Aε0 = r0 é dada por 4 4 0 −0, 0119 ∼ ∼ 7 6, 99 4 4 L1 ((−0.57142) ⊗ L1 ) ⊕ L2 1 −0, 0119 0 = = L1 L2 7 6, 99 −0, 0119 0, 0068 0 0, 0058 ,

7 6, 99

(lembremos que não é necessário realizar novamente todas as operações para escalonar a matriz decoeficientes pois já fizemos isso no momento em que determinamos a primeira aproximação. As operações elementares devem ser aplicadas à coluna das constantes que agora é formada pelo resíduo). Portanto ε0,y = 1, 1724 e ε0,x = −1, 1724. Ou seja, ε0 = e assim x1 = x0 ⊕ ε0 = −85, 357 90, 482 −1, 1724 1, 1724

e o resíduo (calculado em precisão dupla e arredondado para simples) r1 = b Ax1 = 20, 5 34, 97 4 4⊗ −85, 357 90, 482 = 0 −0, 0018 .

7 6, 99

Repetimos a operação com o sistema Aε1 = r1 4 4 0 −0, 0018 ∼ 7 6, 99 4 4 −0, 0018 0 ∼ 7 6, 99 −0, 0018 0, 0010285 .

7 6, 99

0 0, 0058

Então ε1,y = 0, 17732 e ε1,x = −0, 17732, ou seja ε1 = E assim x2 = x1 ⊕ ε1 = e o resíduo r2 = b Ax2 = 20, 5 34, 97 4 4 ⊗ −85, 534 90, 659 = 0 0, 00159 . −85, 534 90, 659 −0, 17732 0, 17732 .

7 6, 99Repetimos a operação com o sistema Aε2 = r2 4 4 0 0, 00159 ∼ 7 6, 99 4 4 0, 00159 0 ∼ 7 6, 99 0, 00159 −0, 0090856 .

7 6, 99

0 0, 0058

Então ε2,y = −0, 15664 e ε2,x = 0, 15664, ou seja ε2 = E assim x3 = x2 ⊕ ε2 = e o resíduo r3 = b Ax3 = 20, 5 34, 97 4 4 ⊗ −85, 377 90, 502 = 0 0.00002 . −85, 377 90, 502 0, 15664 −0, 15664 .

7 6, 99

2

Repetimos a operação com o sistema Aε3 = r3 4 40 0.00002 ∼ 7 6, 99 4 4 0.00002 0 ∼ 7 6, 99 0.00002 −0, 000011428 .

7 6, 99

0 0, 0058

Então ε3,y = −0, 0019703 e ε3,x = 0, 0019703, ou seja ε3 = E assim x4 = x3 ⊕ ε3 = e o resíduo r4 = b − Ax4 = 20, 5 34, 97 4 4 ⊗ −85, 375 90, 5 = 0 0 . −85, 375 90, 5 0, 0019703 −0, 0019703 .

7 6, 99

Nesse ponto podemos observar que na quarta correção obtemos a resposta exata dada por x∗ =

. 90,5 2) Utilize o método de Gauss com pivoteamento parcial para encontrar a solução do seguinte sistema de 4x + 4y = 20

−85, 375

equações lineares 7x + 6, 9y = 34, 7 no sistema F (10, 5, −10, 10). Verifique que o sistema possui solução exata que pode ser representada nesse sistema de ponto flutuante e realize as operações de refinamento. R: Inicialmente resolvemos o sistema pelo método de...
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