Engenharia

O desenvolvimento dos estudos das séries matemáticas ocorreu devido à necessidade de explicar alguns fenômenos ondulatórios. Sendo assim, diferentes tipos de séries foram descobertas. Uma série númerica converge se a sucessão das reduzidas também chamadas de somas parciais, converge. A sucessão das reduzidas é aquela cujo termo geral é (reduzida de ordem n). As séries do tipo
, com α > 1, convergem sempre. Por outro lado, as séries do tipo
, com α  1, não convergem, e, então, diz-se que elas divergem. Para α = 1, a série é denominada de série harmônica. Utilizando-se da análise de Fourier, é possível mostrar que: (i) e (ii)
. A série do item (i) é conhecida como série de Euler. (1)
Onde: u.v é o produto escalar entre os vetores u e v e u,v são respectivamente os módulos dos vetores u e v.O produto escalar entre dois vetores é a soma do resultado do produto entre as componentes correspondentes desses vetores. Módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos resultados dos quadrados das componentes desse vetor. Os vetores u e v pertencem a com e n pertencendo a
.
Suponha-se que
, com e n pertencendo a
, seja um vetor  a e que v= seja um vetor  a com e n pertencendo a
. Calculando-se o módulo dos vetores u e v, tem-se: (2) (3) (4)
Substituindo a expressão 4 na 2, tem-se (5) é uma série geométrica de razão
.
Sendo assim, tem-se: (6)
Substituindo a expressão 6 na 3, tem-se

(7)

(esperarei contato dos leitores)

(8)

(10) (11) (14)

Onde é a constante de integração.

Substituindo e passando 16 para o plano complexo temos:
Vamos usar o símbolo de somatório

Igualando as partes reais e imaginárias temos

parte real

parte imaginária

Da parte imaginária temos que:

Substituindo na parte real

, n u