Engenharia mecanica

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Paulo Boulos

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e

1999/2001 MAKRON

BooI1 inteiro, conhecida como Binômio de Newton, se obtém com a mesma regra acima, e é o seguinte:
0 0+ 0_' +n(n-l) ._11+n(n-l)(n-2) ._))+ ,u o x a x a ... ( X + a ) =x 2 2.3 n(n - I)(n - 2) ... 2 ._,


+

2.3. ... (11-1)

xa

+a

Costuma-se usar a seguinte notação:
O!=l l!=l

2! = 1.2 = 2

3!= 1.2.3=6
~

4! = 1.2.3.4 = 24

e emgeral /1! = 1.2.3.4.... .n (lê-se ene fatorial). A fórmula acima fica (x +a)" = x +- x 11
" 11 "-1

o+

n(I1-1)

2!

x

.-1

a- +

l1(n-l)(n - 2) ._) ]
f!(f! -

+

x a + ... 31 I)(n - 2)...2 ._1 " xa +0 (n- 1)1

(D) Identidades envolvendo divisão

o teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é o seguinte:
Dados os inteiros positivos a e b . existe um único parordenado (q,r) de números inteiros tal que a = bq + r. com O ~ r < b.

q e r são chamados quociente e resto. respectivamente, da divisão euclidiana de a por b. Neste contexto, o e b são chamados dividendo e divisor, respectivamente.
Exemplo 7-8 =4.5+3.

Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5. e resto 3, pois 23 =

«

Da igualdade anterior resulta 23 = 5 +2
4 4

Em geral,dividendo . resto = quociente + divisor divisor

Capo 2

Expressões algébricas

35

Para efetuar a divisão praticamente, existe um algoritmo, chamado algoritmo da divisão, que ilustramos com o exemplo a seguir, no qual dividimos 1546 por 54: I 546 1-'5"'4"---_ 466 28 34
1 546 = 54.28 + 34

Existe um leorema análogo que diz respeito à divisâo de uma expressão polinomial por outra. Paraenunciá-lo, introduzimos a seguinte nomenclatura:


~

Se na expressâo polinomial a,.x" + a n ~ ,x" - I + ... + ajX + ao tem-se a n "" O, ela é dita ter grau n; n é chamado de grau da expressão.

Exemplo 7-9 ~ - 3x - 2 tem grau 3, x 4 - 1 tem grau 4. Uma expressão polinomial 5 imediatamente. pois ela equivale a x < -5 ou x> 5. • Resolvamos agora a desigualdade 13x + 412: 6. Ela equivale a 3x + 4:s: - 6 ou 3x + 4 2: 6. A primeira é equivalente a x:s: -10/3 e a segunda a x 2: 2/3. Portanto, a desigualdade proposta tem como conjunto-solução o conjunto formado pelos x tais que x:s: -1013 ou x ? 2/3. Exercício 10-4
(a) I4x-41 2. (c)12-4xl-1.

Registremos os resuhados obtidos acima: Seja m > O. Então: • Ixl m. Estas propriedades podem ser demonstradas a partir da definição de módulo. Nãopodemos deixar de mencionar a seguinte importante Propriedade Triangular. Quaisquer que sejam os números reais a. h e c. tem-se ta + bl :S: lal + Ih!
Ob.,ervação. .

Se a = -4, /) == 1. temos la + bl == 1-4 + 1I = 1-31 = 3. Por outro lado, lal = 1-41 = 4 e Ihl = 111 = I. logo lal + Ibl = 5. Como 3 < 5, vemos que nesse caso parlicular, temos la + bl < lal + Ib!. Agora você deve estar seperguntando se existe um caso em que la + bl = lal + Ib!. Podemos descobrir quais s50 esses números. De fato. como os números envolvidos s50 maiores ou iguais a zero. a última igualdade é equivalente à seguinte: la + bl 2 = (Ial + Ibl)2, ou seja. Ia + bl 2= lal 2 + 21allbl + Ib1 2. Usando (. ), temos (a + h)2 == a2 + 21abl + /)2. ou seja, a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + 21abl + h 2 • de onde resulta ab =...
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