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PRODUTOS NOTÁVEIS

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(x + y)2
Quadrado da soma de dois termos

=

x2

+

2xy

+

y2
Quadrado do 2º termo

Quadrado do 1º termo

Duas vezes o produto do 1º pelo 2º

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplo 1: a) (x + 3y)2= x2 +2.x.(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2. b) (7x + 1)2= c) (a5+2bc)2=

3⎞ ⎛ d) ⎜ 2m + ⎟ = 4⎠ ⎝
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (x – y)2 = x2 – 2xy
Quadrado da diferença de dois termos Quadrado do 1º termo Duas vezes o produto do 1º pelo 2º

2

+

y2
Quadrado do 2º termo

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelosegundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo 2: 1) (7x – 4)2= (7x)2 – 2.(7x).4 + 42 = 49x2 – 56x + 16. 2) (6a – b)2= 3) (x3 – xy)2=

⎛1 ⎞ 4) ⎜ p − 2h ⎟ = ⎝5 ⎠
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

2

(x + y)
Soma dos termos

.

(x – y)
Diferença dos termos

=

x2
Quadrado do 1º termo



y2
Quadrado do 2º termo

O produto da soma pela diferença de dois termos é igualao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
1

Exemplo 3: 1) (3a + x) . (3a – x)= (3a)2 – (x)2 = 9a2 – x2. 2) (x2 + 5p) . (x2 – 5p)= 3) (10 – ab4) . (10 + ab4)=
3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4) ⎜ b 3 + c ⎟ . ⎜ b 3 − c ⎟ = 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝
Exercícios. 1) Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule:

a) (x + 3)2 b) (a + b)2 c) (5y – 1)2 d) (x2 – 6)2 e) (2x + 7)2 f) (9x + 1) . (9x – 1)g) (a2 – xy)2 1 ⎞ ⎛ h) ⎜ 3 x − y ⎟ 6 ⎠ ⎝
2

i) (2x2 + 3xy)2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 j) ⎜ x 2 y + 1⎟ . ⎜ x 2 y − 1⎟ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 3 3 2 k) (x y – xy )
l) (3y – 5)2 m) (5 + 8b)2 n) (ab + a2) . (ab – a2) 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ o) ⎜ b 3 − a 2 ⎟ . ⎜ b 3 + a 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ p) (10x2 – ab)2 q) (2a3 + 3a)2 r) (a4x2 + a2x4) . (a4x2 – a2x4) 1⎞ ⎛ s) ⎜ 6 x + ⎟ 6⎠ ⎝
2

⎛ 8 y2 ⎞ ⎟ t) ⎜ 3 x − ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠

2

2

3⎞⎛ 3⎞ ⎛ u) ⎜ 2x2 − ⎟.⎜ 2x 2 + ⎟ 5⎠⎝ 5⎠ ⎝ v) (2x3 + 3y2). (2x3 – 3y2)

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(x + y)3
Cubo da soma de dois termos

=

x3

+

3x2y
Três vezes o produto do quadrado do 1º pelo 2º

+

3xy2
Três vezes o produto do 1º pelo quadrado do 2º

+

y3
Cubo do 2º termo

Cubo do 1º termo

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto doquadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Exemplo 4: Efetue: a) (a + b)3 = b) (x + 4)3 = c) (2a + y)3 =

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(x + y)3
Cubo da diferença de dois termos

=

x3



3x2y
Três vezes o produto do quadrado do 1º pelo 2º

+

3xy2
Três vezes o produto do 1º pelo quadrado do 2º–

y3
Cubo do 2º termo

Cubo do 1º termo

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Exemplo 5: Efetue: a) (a – b)3 = b) (x – 4)3 = c) (2a – y)3 =

3

FATORAÇÃO Fatorar um número significa escrevê-lo como umamultiplicação de dois ou mais números.

Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocálo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Diferença de Quadrados Considere o polinômio x2 – y2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença

de quadrados é o resultado de(x + y).(x – y). Portanto, x2 – y2 = (x + y).(x – y). Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima. Exemplo 6: Fatore x2 – 25. Como 25 = 52, x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).

Trinômio Quadrado Perfeito O polinômio x2 +2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque

tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y),...
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