Enfermagem

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Função exponencial e logarítmica A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresentetendência a se aproximar deste.

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo. Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo: ax = exlna Para todo a >0 e .

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial. As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais: a0 = 1a1 = a ax + y = axay

axbx = (ab)x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

Função exponencial e equações diferenciais A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções sãomúltiplas de suas próprias derivadas:

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo. A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

e é por essa razãocomumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples. Função exponencial no plano complexo Quando considerada como uma função definida no planocomplexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

ez + w = ezew e0 = 1

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2πi que pode ser escrita como ea + bi = ea(cosb + isinb) onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão queestendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: zw = ewlnz para todos os números complexos z e w. Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes. É fácil ver, que a funçãoexponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo. Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particularpara matrizes quadradas. Neste caso temos

ex + y = exey se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui) e0 = 1 ex é invertível com inverso e-x a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex. No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função...
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