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Faculdade de Engenharia

Problemas sobre Electrostática

ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO MIB

Maria Inês Barbosa de Carvalho

Setembro de 2007

ELECTROSTÁTICA
Faculdade de Engenharia ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008

LEI DE COULOMB E PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO

PROBLEMA RESOLVIDO

1.

Considere um fio finito de comprimento 2 A , centrado na origem das coordenadas e comdensidade linear de carga λ .

y
a) Mostre que no ponto P de

P (0,y)
 

coordenadas (0,y) o campo eléctrico é dado por
E= Aλ 2πε 0 y A + y
2 2

ˆ uy

2A y
 

x

b) Determine o campo eléctrico no centro do quadrado de lado 2 A mostrado na

2
 

2A

Resolução:

a) De acordo com a lei de Coulomb, o campo eléctrico criado por uma linha com uma densidade linear de carga λ édado por

E=

1 4πε 0
L

λ dl r
r3

onde r é o vector que aponta do elemento dl (pertencente à linha) para o ponto onde se está a calcular o campo.

 

figura.

 

x

2

ELECTROSTÁTICA
Faculdade de Engenharia ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008

Considerando o elemento representado na figura seguinte, temos
ˆ ˆ r = −x ux + y u y
dl = dx

y P (0,y)
y r
 

r =x +y
3 2

(

2 32

)

2A
x

dl

x

Substituindo estes valores na expressão da lei de Coulomb, vem
E= 1 4πε 0
A

ˆ ˆ λ dx (− x u x + y u y )

−A

(x

2

+ y2

)

32

=

A A x dx dx λ ˆ ˆ = − ux + yuy = 2 2 32 2 2 32 4πε 0 − A (x + y ) − A (x + y )

= 0+

λA
2πε 0 y A 2 + y 2

ˆ uy

b) O princípio da sobreposição afirma que E = E1 + E 2 + E 3 + E 4 , ondeE 1, E 2, E 3, e

E 4 são os campos criados por cada um dos lados do quadrado. Além disso, neste caso
verifica-se que o ponto considerado está à mesma distância dos quatro lados, sendo

y = A . Atendendo à carga que existe em cada lado do quadrado, podemos então
escrever
E=− =−

2λ 2 (2λ ) 2λ 2λ ˆ ˆ ˆ ˆ uy − ux − uy + ux = 4πε 0 A 4πε 0 A 4πε 0 A 4πε 0 A 2λ ˆ ˆ (2u y + u x ) 4πε 0 APROBLEMAS PROPOSTOS

1.

Calcule o campo eléctrico criado por um anel de raio R, com densidade linear de carga
λ uniforme, num ponto do seu eixo a uma distância a do centro.

3

ELECTROSTÁTICA
Faculdade de Engenharia ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008

2.

Utilizando o resultado do problema anterior e o princípio da sobreposição, calcule o campo eléctrico num ponto do eixo deum disco de raio R, com densidade superficial de carga uniforme σ, a uma distância a do seu centro.

3. Utilizando novamente o princípio da sobreposição, calcule o campo eléctrico num

ponto a uma distância a do centro de uma esfera com densidade volumétrica de carga uniforme ρV e raio R.

4. Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão colocadas simetricamente no eixo dos xx , a uma

distância dda origem. a) Determine os campos V e E para qualquer ponto no eixo dos yy . b) Sabendo que Q1 = − 2Q2 , determine a massa m que uma partícula de carga q , (sujeita à acção do campo gravítico) deve ter para que possa estar em equilíbrio sobre o eixo dos yy , a uma distância h da origem.
5. Um fio com carga linear uniforme λ forma um arco circular de raio R que está

centrado no eixo dos yy , talcomo mostra a figura. Mostre que o módulo do campo eléctrico criado pelo fio na origem é E = (2λ sen∆ ) (4πε 0 R), onde ∆ é o ângulo medido a partir do eixo dos yy até cada uma das extremidades do fio.
y −∆

λ
∆ R x

6. Duas cargas pontuais, Q1 e Q2 , estão localizadas em (1, 2, 0) e (2, 0, 0),

respectivamente. Que relação deve existir entre Q1 e Q2 para que a força total sobre uma cargade teste que se encontra em (-1, 1, 0) não tenha a) componente segundo o eixo dos xx ; b) componente segundo o eixo dos yy .

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7. Um triângulo equilátero é constituído por três linhas de comprimento L . A densidade

linear de carga nas três linhas é uniforme , tendo os valores λ1, λ2 e λ3 . Admitindo...
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