Dinâmica populacional

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SUMARIO

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1 EQUACOES AUTONOMAS E DINAMICA POPULACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . 2
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1.1 CRESCIMENTO EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 CRESCIMENTO LOG´
ISTICO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 EXEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 UM LIMIAR CR´
ITICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 CRESCIMENTO LOG´
ISTICO COM UM LIMIAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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EQUACOES AUTONOMAS E DINAMICA POPULACIONAL
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1

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Uma importante classe de Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem s˜ o aquelas cuja
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a vari´ vel independente n˜ o e obtida explicitamente. Tais equacoes s˜ o chamadas Equacoes a a´
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a
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Autˆ nomas e se d˜ o na forma o a dy = f (y) dt (1)

N´ s discutiremos estas equacoes no contexto de crescimento ou decaimento populacional de o ¸˜ uma dada esp´ cie, um importante campo de aplicacoes para a medicina, ecologia e economia e ¸˜ global. ´
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A equacao (1) e separ´ vel e de simples resolucao, no entanto, o intuito agora e mostrar
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a
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como, geometricamente, podemos usar m´ todos geom´ tricos para obter importantes informacoes e e
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qualitativas diretamente da Equacao Diferencial, sem necessariamente resolvˆ -la.
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1.1

CRESCIMENTO EXPONENCIAL
Seja y = φ (t ) a populacao de uma dada esp´ cie no tempo t . A mais simples hip´ tese
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e o `
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referente a variacao da populacao e que a taxa de variacao de y e proporcional1 ao valor corrente
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desta mesma funcao, ou seja,
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dy
= ry, dt (2)

´ onde a constante de proporcionalidade r e chamada de taxa de crescimento ou decl´nio, deı pendendo de