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Geometria Analítica II - Aula 10

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IM-UFF

K. Frensel - J. Delgado

Aula 11 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano, introduzimos, anteriormente, as coordenadas polares. No espaço, existem dois sistemas de coordenadas que nos fornecem uma maneira mais conveniente de descrever algumas superfícies e sólidos. Seja P =(x, y, z) um ponto do espaço, onde x, y, z são suas coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXYZ. Seja P = (x, y, 0) a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano XY e sejam ρ e θ as coordenadas polares de (x, y).

Fig. 1: Ponto P representado pelas coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z)

Dizemos então que (ρ, θ, z) são as coordenadas cilíndricas do ponto P. Sabemos que ρ = ± x2 + y2x = ρ cos θ y = ρ sen θ cos θ = ± e sen θ = ± tg θ =
y x x x2 + y2 y x2 + y2

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Nas coordenadas cilíndricas, o cilindro circular de eixo−OZ, S : x2 + y2 = a2 , é dado por: S : ρ 2 = a2 ou seja, S = { (a, θ, z | θ, z ∈ R } . A simplicidade da equação do cilindro, ρ = a, justifica o nome “coordenadas cilíndricas”. −→ − Considere agora r = d(O, P), ϕ oângulo que o vetor OP faz com o semi-eixo positivo OZ, −→ − ϕ ∈ [0, π], e θ o ângulo que o vetor OP faz como o semi-eixo positivo−OX. ⇐⇒ S : ρ = a,

Fig. 2: Ponto P representado pelas coordenadas esféricas (θ, ϕ, r)

Dizemos que (r, θ, ϕ) são as coordenadas esféricas do ponto P. Como r = d(O, P), temos: z = r cos ϕ Logo, x = ρ cos θ = r sen ϕ cos θ e y = ρ sen θ = r sen ϕ sen θ . Ou seja, se (r, θ,ϕ) são as coordenadas esféricas do ponto P, então as suas coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas por: x = r sen ϕ cos θ y = r sen ϕ sen θ z = r cos ϕ e ρ = d(O, P ) = r sen ϕ .

Observação 1
• Se r < 0, (r, θ, ϕ) corresponde ao ponto (−r, π + θ, π − ϕ), que é o simétrico de (−r, θ, ϕ) com respeito à origem. • Como ρ = r sen ϕ e ϕ ∈ [0, 2π], ρ e r têm sempre o mesmo sinal.

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Fig. 3: Ponto P de coordenadas (r, θ, ϕ), r < 0

Sendo r2 = x2 + y2 + z2 e x2 + y2 = r2 sen2 ϕ = ρ2 , obtemos que: r = ± x2 + y 2 + z 2 sen ϕ = cos θ =
ρ = r x =± ρ x 2 + y2 x2 + y2 + + z2 x x2 y2

, , , cos ϕ =
z =± r y x2 + y2 z x2 + y2 + z2

,

sen θ = ±

.

A esfera S : x2 + y2 + z2 = a2 de centro na origem eraio a é dada em coordenadas esféricas da seguinte maneira: S : (r sen ϕ cos θ)2 + (r sen ϕ sen θ)2 + (r2 cos2 ϕ) = a2 ⇐⇒ S : r2 sen2 ϕ + r2 cos2 ϕ = a2 ⇐⇒ S : r2 = a2 ⇐⇒ S:r=a

Ou seja, S = {(a, θ, ϕ) | θ ∈ R

e

ϕ ∈ [0, π] } .

Esta maneira simples, r = a, de representar uma esfera centrada na origem é a razão para o nome coordenadas esféricas.

Fig. 4: Esfera S : r = a

Exemplo 1Determine as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos abaixo dados em coordenadas cartesianas. (a) P = (1, 1, 1). Solução.
2

√ 1 1 2 2 e sen θ = ± √ = ± . Temos ρ = ± 2, cos θ = ± √ = ±
2 2 2





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Assim P=

√ π 2 , + 2πk , 1
4

ou

√ π P = − 2 , π + + 2πk , 1 ,
4

k ∈ Z,

é o ponto P emcoordenadas cilíndricas. √ √ ρ 2 z 1 x 1 Sendo r = ± 3 e ρ = ± 2, temos sen ϕ = = √ , cos ϕ = = ± √ , cos θ = = ± √ e
r 3 r 3 ρ 2 √

sen θ = Logo,

y 1 = ±√ . ρ 2

P=

√ π 3, + 2πk, ϕ0
4

ou

√ π P = − 3, π + + 2πk, π − ϕ0 ,
4

k ∈ Z,

1 é o ponto P em coordenadas esféricas, onde cos ϕ0 = √ 3

√ 2 e sen ϕ0 = √ , ϕ0 ∈ (0, π). 3

(b) P = (0, 1, 2). Solução. Temos ρ = ±1, cos θ = 0e sen θ = ±1. Logo, P = 1,
π + 2πk, 2 2 3π + 2kπ, 2 , 2

ou

P = −1,

k ∈ Z,

é o ponto dado em coordenadas cilíndricas. √ ρ 1 z 2 = √ , cos ϕ = = ±√ , Por outro lado, sendo r = ± 5 e ρ = ±1, temos sen ϕ =
r 5 r 5 x y cos θ = = 0 e sen θ = = ±1. ρ ρ

Então, P= √ 5,
π + 2πk, ϕ0 2

ou

√ 3π P = − 5, + 2πk, π − ϕ0 , k ∈ Z ,
2 2 1 e sen ϕ0 = √ , ϕ0 ∈ (0, π). 5 5

é o ponto dado...
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