DERIVADS

Integrais
Resolução dos Exercícios Propostos
Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:
5

a) f ( x )

7x 2  4 ;

d) f ( x )

x 1 x5 Solução:

³  7x

b)

§ t5
·
4
³ ¨ 2  t 3  3t ¸ dt
©
¹

c)

³u

d)
e)
f)

t5
4
 3  3t ;
2 t

e) h( v ) ( 2  v 2 )2

a)

5 2 

b) g ( t )

 4 dx 2 x 

7 2

c) h( u )
f) g ( s )

u 3 ( 2u  u 5 ) ;

1 s4  4x  C ;

1 6 4 3 2 t t  t C ;
12
2

2
1
 u5   C ;
5
u x 1
1 3 1 4
4
5
³ x 5 dx ³ ( x  x ) dx  3 x  4 x  C ;
1 1 1
2 2
2
4
³ ( 2  v ) dv ³ (4  4v  v ) dv 4v  4 v  3 v 3  C ;
1
1 1
³ s 4 ds  3 s 3  C .
3

( 2u  u 5 ) du

³ ( 2 u

4

 u 2 ) du

Exercício 2: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:
a) f ( x )

3cos x
;
7sen 2 x

b) g ( t )

2 cos 2 t  tg t
;
cos t

c) f ( x )

sen 2 x cos 2 x
.

7cos 2 x 7cos 2 x

Solução:
3cos x
3
a) ³ cotg x cossec x dx , mas pela tabela de derivação dada no final do dx 2
7³
7sen x
Fundamentum
nº 27, obtém-se que: d cossec x  cossec x cotg x . dx 3cos x
3
Assim, ³ dx  cossec x  C .
2
7
7sen x
2
§
2 cos t  tg t sen t · sen t
b) ³ dt ³ ¨ 2 cos t 
2 ¸
¨
¸ dt ³ 2 cos t dt  ³ cos 2 t dt 2sen t  ³ tg t cotg t dt , cos t cos t ¹
©
novamente pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que: d sec x sec x tg x , dx 2 cos 2 t  tg t assim, ³ dt 2sen t  sec t  C . cos t

mas

sen 2 x

cos2 x

1
1
2
2
³ (1  tg x ) dx 7 ³ sec x dx , mas novamente pela tabela de derivação
7
dada no final do fundamentum nº 27, obtém-se que: d tg x sec 2 x , dx sen 2 x cos 2 x
1
assim, ³

dx tg x  C .
2
2
7
7cos x 7cos x

³ 7cos2 x  7cos2 x dx

c)

Exercício 3: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:

x dx ;
1 x

a) ³ 2 2  3xdx ;

b) ³ 3x 2 x 2  4 dx ;

c)