Derivadas De Funções Complexa

Capítulo 3

Derivadas de funções complexas

3.1. Introdução
O primeiro estudo sistemático das funções complexas e das suas aplicações a problemas de análise, hidrodinâmica e cartografia deve-se a L. Euler, em 1776-77.
Contudo, funções deste tipo tinham sido anteriormente consideradas por outros matemáticos, com destaque para J. d’Alembert1 que utilizou funções complexas em
1752, no âmbito do estudo do movimento de fluidos. Euler obteve, então, condições necessárias para a diferenciabilidade de uma função complexa, embora não as tenha explorado completamente. Estas condições resultam da forma especial das funções lineares complexas, dado que a diferenciabilidade de uma função num ponto corresponde a poder ser aproximada por uma função linear numa vizinhança desse ponto.
Por volta de 1825, A.L. Cauchy2 deu um sentido preciso à noção de derivada de uma função, tornando rigorosa a noção de limite da sua razão incremental, na sequência de uma ideia de d’Alembert cerca de 1752. Cauchy deu passos decisivos no estudo das funções complexas com base nas condições necessárias de diferenciabilidade obtidas por
Euler, mas só com o trabalho de B. Riemann3, em 1851, é que estas condições são plenamente exploradas. Ficaram conhecidas por “condições de Cauchy-Riemann”.
Podem ser expressas por equações que relacionam as derivadas parciais das partes real e imaginária da função. Estabelecem que a diferenciabilidade de funções complexas

1 Jean le Rond d’Alembert (1717-1783).
2 Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
3 Bernhard Riemann (1826-1866).

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Derivadas de funções complexas

implica fortes restrições de interligação das suas partes real e imaginária, ausentes na diferenciabilidade de funções de ℝ 2 em ℝ 2 .
As transformações lineares definidas pelas derivadas de funções complexas diferenciáveis num conjunto aberto correspondem a relações geométricas de semelhança do domínio para o contradomínio, isto é, transformações que preservam