Fasor e numeros complexos

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Circuitos Elétricos III
Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais

Introdução à Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace (TL)
• TL: técnica para análise de circuitos de parâmetros concentrados

• Facilita a análise de circuitos com elevado número de nós e/ou de malhas

A Transformada de Laplace emCircuitos Elétricos
• Determinar a resposta transitória de circuitos com fontes de sinal com variação complexa; • Introduzir a função de transferência para descrever a resposta em regime permanente de um dado circuito; • Estabelecer uma relação entre os comportamentos de um dado circuito nos domínios do tempo e da freqüência; • Transformar um conjunto de equações integro-diferenciais (tempo) emequações algébricas (freqüência).

A Transformada de Laplace Bilateral
A Transformada de Laplace Bilateral da função f(t) é dada por:
ℒ =
∞ −∞ −

Representação alternativa:

=ℒ

Ou seja, a TL é uma função da variável s. Domínio da freqüência

Domínio do tempo

Transf. Laplace

A Transformada de Laplace Unilateral (TLU)
A Transformada de Laplace Unilateral da função f(t) é dada por:=ℒ

=



0



• A TLU envolve uma integral imprópria • Condição de existência da TL: a integral tem de convergir • Funções sem TL: tt, exp(t2)

A Transformada de Laplace Unilateral (TLU)
A Transformada de Laplace Unilateral da função f(t) é dada por:

=ℒ

=



0



• F(s) determinada somente pelos valores positivos de t. • A TLU “ignora” informações para t0):

Afunção degrau
• Função igual a K para t0):

Outras funções
• Pode-se formar outras funções a partir da função degrau:
=2 − −1 + −4

−2 + 4

2 −8

−1 −

−3 −

−3 +

Outras funções
• Pode-se formar outras funções a partir da função degrau:
=2 − −1 + −4

−2 + 4

2 −8

−1 −

−3 −

−3 +

Outras funções
• Pode-se formar outras funções a partir da função degrau:
=2 − −1+ −4

−2 + 4

2 −8

−1 −

−3 −

−3 +

A função impulso (ou Delta de Dirac)
A derivada não é definida no ponto de descontinuidade

• A função impulso permite definir a derivada em uma descontinuidade permite definir a TL dessa derivada

A função impulso
• Possui amplitude infinita e duração zero • Não existe na natureza • Utilidade: o modelo matemático se aproxima de algunscasos práticos e.g.: operações de chaveamento e excitação com fontes impulsivas

Derivada de uma função em uma descontinuidade
• Assume-se variação linear na descontinuidade: derivada=1/2 ϵ • Quando ϵ→0, ocorre descontinuidade abrupta em t=0.

• Quando ϵ→0, f’(t) →∞ • A área sob a curva permanece constante (igual a 1, neste caso)

A função impulso
• Quando ϵ→0, f’(t) aproxima-se de umimpulso unitário, δ(t) f’(0) → δ(t), quando ϵ→0 • Se a área sob a curva for diferente de 1, a função impulso é denotada por K δ(t), onde K é a área ou intensidade da função impulso.

A função impulso
• Pode ser obtida por uma função de parâmetro x que apresenta as seguintes características, quando x →0: • a amplitude tende a infinito; • a duração tende para zero • a área sob a função permanececonstante • Há muitas funções que apresentam esta característica.

A função impulso: definição
• A função impulso é matematicamente definida por:
∞ −∞

=

= 0,

≠0

• Impulso que ocorre em t=a é denotado por K δ(t-a)

Propriedade de amostragem do impulso

Decorre de:

− −

= 0, = 1,

≠ =

A Transformada de Laplace da impulso
• Propriedade de amostragem do Impulso:

•Utilizamos a propriedade de amotragem para determinar a TL do impulso:

Derivada do impulso
• A função f(t) gera um impulso quando ϵ→0:

• Derivada da função geradora do impulso (doublet): δ’(t), quando ϵ→0

TL da derivada do impulso
• Aplica-se a integral à f’(t):

Aplicando L’Hôpital

TL da derivada n-ésima do impulso
• Pode ser obtida de forma semelhante ao procedimento...
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