Derivada e integral

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Notas de Aula: Aplicações das Derivadas

APLICAÇÕES DA DERIVADA
Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta, vamos explorar este fato e desenvolver técnicas para o uso de derivadas para auxiliar a construção de gráficos. Estão incluídas, também, as aplicações da derivada a problemas típicosenvolvendo máximos e mínimos, taxas de variação e cálculo de limites, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como geometria, engenharia, física, biologia e economia. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que a derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções. Cabe observar que o conteúdo apresentado nesta seção não é exaustivo e o enfoque pretendidoé, na medida do possível, eminentemente prático. Por outro lado, o leitor interessado em aprofundar sua base teórica, conhecendo os detalhes, os teoremas e as demonstrações que dão embasamento a este conteúdo deve consultar os livros de cálculo tradicionais.

Taxas de variação ou taxas relacionadas Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxasrelacionadas. Assim, se uma variável x é função do tempo t, a taxa de variação de x em relação ao tempo é dada por

dx . Quando duas ou mais variáveis, todas função de t, são dt

relacionadas por uma equação, a relação entre suas taxas de variação pode ser obtida diferenciando a equação em relação a t.

Em problemas com taxas relacionadas, as variáveis têm uma relação específica para osvalores de t, onde t é a medida do tempo. Essa relação é usualmente expressa na forma de uma equação. Os valores das variáveis e as taxas de variação das variáveis em relação à t são freqüentemente dados num determinado instante. Considere o exemplo a seguir:

Exemplo:
Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m?

Solução:
Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquerinstante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone (Fig. 1).

Fig 1. Tanque na forma de um cone

1 ⇒ V (t ) = π r 2 h 3 V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque a uma taxa de 2 m3/min, dh m3 dV (t ) quando h = 5m. Para expressar r em termos de h, temos, . Queremos determinar =2 min dt dt dos triângulos semelhantes, r 4 1 = ⇒r = h h 16 4Logo,
1 ⎛h⎞ 1 ⇒ V (t ) = π ⎜ ⎟ h ⇒ V (t ) = π h 3 3 ⎝4⎠ 48
2

Então, dV 1 dh = π h2 dt 16 dt Substituindo dV (t ) = 2 e resolvendo: dt


dh 32 = dt π h 2

logo dh ⎤ 32 = ⎥ dt ⎦ h = 5 25π Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa de água é de 5 m.
32 m/min quando a profundidade da 25π

Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas envolvendotaxas relacionadas.
1. Faça uma figura, se isso for possível. 2. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente

dependem de t.
3. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em

relação à t.
4. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 5. Derive em relação a t ambos os membros da equaçãoencontrada na etapa 4. 6. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos

da quantidade desejada.

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