definicão

O SURGIMENTO DAS INTEGRAIS
O inicio
Os primeiros problemas que aparecem na História relacionado com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi a medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles a relacionavam com a área do quadrado, por ser esta figura plana mais simples. Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse a área igual a da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.
Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, os as figuras limitadas por arcos de outras curvas. Hipócrates de Chios 440 a.C. realizou as primeiras quadraturas da história, quando estudou as lúnulas. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos; primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. No entanto havia um problema, esta sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, esta foi uma ideia genial que deu origem ao método de exaustão.
As primeiras ideias do Cálculo surgiram na Grécia Antiga há 2500 anos. Naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão, atribuído a Eudoxo (406 –355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287 –212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria.

Arquimedes fez uma significativa contribuição ao Cálculo ao achar a área da região limitada por uma parábola e uma reta, fazendo a soma das áreas de infinitos triângulos. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola, cortada por uma corda qualquer é igual a 4/3 da área do triângulo