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Cálculo de Raízes de Polinômios

Os métodos de aproximações sucessivas vistos como bissecção, e Newton Raphson, podem ser utilizados para se determinar uma das raízes de um polinômio; se quisermos todas, no entanto, é necessário modificar a função polinomial, através de deflação, para os métodos de Newton-Raphson. Se conhecermos os intervalos em que apenas uma raiz está contida, então podemos usar o método da bissecção para cada um dos intervalos.

Teoremas que auxiliam a compreensão:

Teorema Fundamental da Álgebra:

Todo polinômio que não seja uma constante tem ao menos um zero no campo dos números complexos.

Teorema do Resto:

Se um polinômio p, de grau n ≥ 1, é dividido por um fator z − c, então p(z)=(z − c)q(z) + r, onde q(z) é o quociente (de grau n − 1) e r é um número complexo. Se z = c, então p(c) = r.

Teorema dos Fatores:

Se um polinômio p, de grau n ≥ 1, for escrito na forma p(z)=(z − c)q(z) + r, e se c for um zero de p, então r = 0, de forma que p(z)=(z − c)q(z) e z −c é um fator de p.

Teorema do Número de Zeros: Um polinômio de grau n tem exatamente n zeros no campo dos números complexos, considerando a multiplicidade de cada zero.

Teorema do Disco contendo todos os Zeros: Todos os zeros de um polinômio p(z)= encontram-se em um disco fechado cujo centro é a origem do plano complexo e raio

Teorema do Disco contendo todos os Zeros Não-nulos:
Se todos os zeros de um polinômio s(z) = znp(1/z) encontram-se no disco {z : |z| ≤ ρ}, então todos os zeros não-nulos de p encontram-se fora do disco {z : |z|