Cálculo II - Lista de Exercício 1

´
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA
Projeto Newton - C´lculo II a Lista 01: Encontros 01 e 02
Professor: Juaci Pincan¸o c Welligton Oliveira de Souza
Matr´
ıcula: 13791001001
Engenharia Biom´dica e 1. (0,2 pts) Considere um sistema ortogonal de coordenadas para R3 e nele, represente os seguintes pontos: A = (0, 1, 1), B = (0, −1, −1), C = (1, 2, −2) e D = (−1, −2, −2).
Solu¸ao:
c˜

Figure 1: Representa¸ao dos pontos A, B e C no plano R3 feita manualmente c˜ Figure 2: Representa¸ao dos pontos A, B e C no plano R3 feita em software c˜ 1

2. (0,2 pts) Considere, em rela¸ao a um sistema ortogonal de coordenadas para R3 , os pontos c˜ A = (−1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e C = (1, 0, 1). Verifique que A, B e C s˜o v´rtices de um triˆngulo a e a equil´tero. a Solu¸ao: c˜ (i). A distˆncia entre dois pontos no espa¸o R3 ´ dado pela seguinte express˜o: a c e a
D=

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

(ii). O triˆngulo equil´tero possui trˆs lados iguais. Logo, a distˆncia entre os trˆs pontos A, B e a a e a e C, que s˜o as v´rtices do triˆngulo, tamb´m ser˜o iguais, ou seja: a e a e a DBA = DCB = DAC onde: DBA = distˆncia do ponto A para o B; a DCB = distˆncia do ponto B para o C; a DAC = distˆncia do ponto C para o A; a (1 − (−1))2 + (1 − 0)2 + (1 − 2)2

DBA =

DBA =

DCB =

22 + 12 + (−1)2
√
DBA = 6

(1 − 1)2 + (0 − 1)2 + (1 − 1)2

DCB =

02 + (−1)2 + 02
√
DCB = 1
DCB = 1

DAC =

(−1 − 1)2 + (0 − 0)2 + (2 − 1)2
DAC =

(−2)2 + 02 + 12
√
DAC = 5

Os pontos n˜o s˜o equidistantes, ou seja, DBA = DCB = DAC . Portanto, os trˆs pontos A, B e C a a e n˜o formam um triˆngulo equil´tero. Os pontos formam um triˆngulo retˆngulo de hipotenusa 6 a a a a a e catetos 1 e 5, isto ´: e (DBA )2 = (DCB )2 + (DAC )2
√
√
( 6)2 = 12 + ( 5)2
6=1+5

2

3. (0,2 pts) Mostre que a equa¸ao 4x2 + 4y 2 + 4z 2 + 8x + 4z = 24y − 25 representa uma esc˜ fera e determine seu centro e raio.
Solu¸ao: