Contabilidade

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[pic]



1ª LISTA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA – FATORIAL E PERMUTAÇÕES - GABARITO

1) Calcule: a) 5 ! b) 6! + 4! c) (3!)2 – (32)! d) [pic] e) [pic]
Solução. Desenvolvendo os fatoriais, temos:

a) [pic] b) [pic]
c) [pic] d) [pic]e) [pic]

2) Calcule a soma das raízes da equação (5x – 7)! = 1

Solução. O número cujo fatorial vale 1 pode ser 0 ou o próprio 1. Temos, então, dois casos a considerar.
[pic]

3) Resolva a equação (2x – 3)! = 120

Solução. O número cujo fatorial vale 120 é 5, pois 5! = 5.4.3.2.1 = 120. Temos:
[pic]

4) Simplifique as expressões:

a) [pic]b) [pic] c) [pic]

Solução. Um procedimento consiste em desenvolver os termos fatoriais até que fiquem iguais ao de menor representação, o que permite o cancelamento, considerando que os denominadores não se anulam.
Lembrete: n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! = ... (sucessivamente)



a) [pic] b) [pic]c) [pic]

5) Calcule n nas expressões abaixo:

a) [pic] b)[pic] c)[pic]

Solução. Desenvolvem-se os fatoriais até a forma simplificada e trabalha-se com o 2º membro resolvendo a equação.

a) [pic]

b) [pic]

c) Observe que o numerador é a soma dos termos de uma progressão aritmética de razão 1.

[pic]

6) (DESAFIO) Por quantos zeros termina o resultado de1.000!?

Solução. Esse exercício envolve a observação do comportamento dos múltiplos de 10. Os múltiplos de 10 apresentam 0 na unidade simples. E o fator 10 é resultado da multiplicação 2 x 5. No desenvolvimento do fatorial aparecem mais números 2 do que 5, mas a partir de 5!, o produto (2x5) aparece de forma explícita ou “embutido” com 52 x 4, etc. Verifica-se que a questão passa a ser contar onúmero de vezes em que o fator 5 aparece, já que o dois somente não é suficiente. Veja o raciocínio.
i) Seja n!=1.2.3.4.5....(n-2).(n-1).n, vamos colocar em evidência todos os que contém termos 5, ou seja:
n! = 1.2.3.4.(5.1).6...9.(5.2).11...14.(5.3).16.....(5.x)..(n-1).(n) onde (5.x) é o último múltiplo de 5 que aparece antes de n. Note que os termos que não estão em negrito podem ser escritoscomo [pic] logo [pic](L1 é a parte em negrito).
OBS: Note que x pode ser obtido pegando a parte inteira da divisão de n por 5. Note também, que não há termos 5 na parte em que não está em negrito.A única parte que pode conter termos 5 é no x!.
ii) Repetindo essa operação com (x!), temos:
x! = 1.2.3.4.(5.1).6...9.(5.2).11...14.(5.3).16.....(5.y)..(x-1).(x)
Onde 5.y é o último múltiplo de 5 antesde x, para obter y, basta pegarmos a parte inteira da divisão de x por 5.
Temos uma expressão da forma: [pic] onde L1 e L2 são as partes que não tem fatores 5.
Note que x foi obtido pegando a parte inteira de [pic] e y foi obtido pegando a parte inteira de [pic] .
Procedemos da mesma forma, até chegarmos a um número que quando dividido por 5, dê como parte inteira 0.

Resolvendo a questão:Com quantos zeros termina 1000!?
x = 1000/5 = 200 y = x/5 = 200/5 = 40 z = y/5 = 40/5 = 8 w = z/5 = 8/5 = 1 (último).
Logo termina em x+y+z+w = 200+40+8+1 = 249.
7) Com as letras A,B,C,D,E,F e G quantos anagramas de quatro letras distintas podem ser formados? Destes, quantos terminam por vogal?

Solução. Os anagramas são grupamentos onde a ordem é importante.Escolhendo quatro letras de um total de 7, temos as possibilidades (pos) para as posições.

|1ª posição |2ª posição |3ª posição |4ª posição |
|7pos |6pos |5pos |4pos |


i) Podem ser formados: 7x 6 x 5 x 4 = 840 anagramas.

ii) A condição...
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