Circulo de Morh

Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil

Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.

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• Exemplo 1:

Para o elemento em estado plano de tensões indicado

abaixo: (a) construir o Círculo de Mohr; (b) determinar os planos de tensão principal; (c) determinar a intensidade das tensões principais; (d) determinar as tensões máximas de cisalhamento e as tensões normais correspondentes.

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• Exemplo 1:

σ x = 50 MPa ; σ y = −10 MPa ; τ xy = 40 MPa

(a) Construção do Circulo de Mohr
Ponto C

σx +σ y

abscissa: σ méd =

2

=

( 50 ) + ( −10 ) = 20 MPa
2

ordenada: τ xy = 0
Cálculo do Raio do Círculo de Mohr

( CF ) + ( FX )
2

R = CX =

2

CF = 50 − 20 = 30 MPa
FX = 40 MPa
R=

( 30 ) + ( 40 )
2

2

= 50 MPa

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• Exemplo 1:

σ x = 50 MPa ; σ y = −10 MPa ; τ xy = 40 MPa

(b) Planos de Tensão Principal sabendo-se que:
CF = 30 MPa


 FX = 40 MPa


tan 2θ p = tan θ P =

FX 40
=
= 1,33
CF 30

−2 ±

θ P1 = 26, 6°

Y

X

( 2 ) − ( 4 ⋅1,33 ⋅ −1,33)
2

2 ⋅1,33

=

−2 ± 3,33
2, 67

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• Exemplo 1:

σ x = 50 MPa ; σ y = −10 MPa ; τ xy = 40 MPa

(c) Tensões Principais sabendo-se que:
CF = 30 MPa


 FX = 40 MPa
 R = 50 MPa



σ max = OA = OC + CA = σ méd + R = 20 + 50 σ max = 70 MPa

σ min = OB = OC − BC = σ méd − R = 20 − 50 σ min = −30 MPa

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• Exemplo 1:

σ x = 50 MPa ; σ y = −10 MPa ; τ xy = 40 MPa

(d) Cisalhamento Máximo sabendo-se que: