# Circuitos ii

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• Publicado : 4 de março de 2013

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14-4-1 Determine f(t) para:
Fs=s+3s3+3s²+6s+4
Solução:
Fs=s+3s+1s+1+j3(s+1-j3) → Fs=s+3s+1(s2+2s+4)
Temos:
Fs=s+3s+1s2+2s+4=As+1+Bs+Cs2+2s+4
s+3=As2+2s+4++s+1(Bs+C)
S=-1→2=A1-2+4→A=23
S+3=As2+2s+4+Bs²+Cs+Bs+C
S+3=A+Bs2+ 2A+B+Cs+4A+C
Logo:
A+B=0→B =-23
2A+B+C=1
4A+C=3→423+C=3→C=3-83→C=13
Com Isso:
Fs=23s+1+-23s+13s²+2s+4→Fs=23s+1+-23s+1+1s+12+3Fs=23s+1+23(s+1)s+12+3+1s+12+3
ft=23e-t-23e-tcos3t+13e-tsen(3t)
14-4-2 Determine f(t) para:
Fs=s²-2s+1s3+3s²+4s+2
Solução:
Fs=s2-2s+1s+1s2+2s+1=As+1+Bs+Cs2+2s+2
s²-2s+1=As2+2s+2+s+1Bs+C
s2-2s+1=As2+2s+2+Bs2+B+Cs+C
s2-2s+1=A+Bs2+2A+B+Cs+2A+C
Observe que para s=-1
1+2+1=A1-2+2
A=4
Temos que:
A+B=1→B=-3
2A+B+C=-2
2A+C=1→C=-7
Logo:
Fs=4s+1+-3s-7s2+2s+2→ Fs=4s+1+-3s-1-4s+12+1
Fs=4s+1-3×4s+12+1ft=4e-t-3e-tcost-4e-tsentu(t)

14-4-3 Determine f(t) para:
Fs=5s-1s3-3s-2
Solução:
Fs=5s-1s+1s+1(s-2)→Fs=5s-1s+12+(s-2)
5s-1s+12s-2=As+1+Bs+12+Cs-2
5s+1=As+1s-2+Bs-2+C(s+1)²
s=-1→-3B=-6→B=2
s=2→9C=9→C=1
A+C=0→A=-1
Logo:
Fs=-1s+1+2s+12+1s-2
ft=-e-t+2te-t+e2tu(t)

14-4-4 Determine a transformada inversa de:
Ys=1s3+3s²+4s+2

Solução:

Ys=1s+1s2+2s+2=As+1+Bs+Cs2+2s+2
1=As2+2s+2+s+1Bs+Cs=-1→A=1
A+B=0→B=-1
C+B+2A=0→C=-1
Logo:
Ys=1s+1-s+1s+12+1
yt=e-t-e-tcostut
yt=e-t(1-cos⁡(t))u(t)

14-4-5 Determine a transformada inversa de:
Fs=2s+6s+1(s²+2s+5)

Solução:
2s+6s+1s2+2s+5=As+1+Bs+Cs2+2s+5
As2+2s+5+s+1Bs+C=2s+6
s=-1→4A=4→A=1
A+B=0→B=-1
2A+C+B=2→C=1
Logo:
Fs=1s+1+-s+1s+12+4
Fs=1s+1+-s+1+2s+12+22
Fs=1s+1-(s+1)s+12+2²+2s+12+2²
ft=e-t-e-tcos2t+e-tsen2tut

Fs=2s+6ss2+3s+2

Solução:
Fs=2s+6ss+1s+2=As+Bs+1+Cs+2
2s+6=As+1s+2+Bss+2+Cs+1s
s=0→A=3
s=-1→B=-4
s=-2→C=1
Fs=3s-4s+1+1s+2
ft=3-4e-t+2e-2tut

14-4-7 Prove que:
L-1=cs+(ca-ωd)s+a2+ω²
é ft=me-atcosωt+θ, onde m=c2+d2 e θ=tan-1dc.

Solução:
cs+ca-ωds+a2+ω2=cs+a-ωds+a2+ω2=cs+as+a2+ω2-dωs+a2+ω2
cL-1s+as+a2+ω2-dL-1ωs+a2+ω2=
ce-atcosωt-de-atsen ωte-atcosωt-d sen ωt
Aplicando a propriedade trigonométrica da soma de senoides, válida quando senos e co-senos têm o mesmo argumento, que é o caso.
m=c2+d2; θ=tandc
ft=me-atcos⁡(ωt+θ)

14-4-8 Determine a transformada inversa de F(s), expressando f(t) na forma de seno ou co-seno.
a)
Fs=8s-3s²+4s+13
Solução:
Fs=8s_3s²+4s+13=8s+2-19s+2²+5=8(s+2)s+22+9-19s+22+9
ft=8e-2tcos3t-193e-2tsen3tft=e-2t8cos3t-193sen3t
m=82-1932→m=9373→m≅10,2
θ=tan-11938→θ=38,4°
Logo:
ft=10,2e-2tcos3t+38,4°u(t)

b)
Fs=3e-ss²+2s+17

Solução:
Fs=3e-ss+12+16

Fs=34e-s4s+12+4²
ft=34e-t-1sen4t-1ut-1

14-4-9 Determine a transformada inversa de F(s).
a)
Fs=(s2-5)s(s+1)²
Solução:
Fs=s2-5ss+12= As+Bs+1+Cs+12
As+12+Bss+1+cs
s=0→A=-5
s=-1→C=4
A+B=1→B=6
Fs=-5s+6s+1+4s+12ft=-5+6e-t+4te-t,t≥0

b)
Fs=4s²(s+3)³
Solução:
Fs=4s2s+33=As+3+B(s+3)²+Cs+33
4s2=As+32+Bs+3+C
s=-3→c=36 ; A=4
6A+B=0→B=-24
Temos que:
Fs=4s+3-24(s+3)²+36(s+3)³
ft=4e-3t-24te-3t+18t2e-3t, t≥0

Seção 14.5 Teoremas do Valor inicial e Valor final

14-5-1 A transformada inversa de Laplace de uma do termo:

Fs=2s²-3s+4s³+3s²+2s
a) Determine o valor inicial de f(t).limt→0+ft=lims→∞sFs=lims→∞s2s2-3s+4ss2+3s+2=

lims→02-3s+4s21+3s+2s2=

limt→0+ft=lims→∞sFs=2

b) Determine o valor final de f(t).

limt→∞ft=lims→0sF(s)=lims→0s2s2-3s+4ss2+3s+2=2

14-5-3 Determine os valores inicial e final de v(t) para.
Vs=(s+10)(3s3+2s2+1s)
Solução:
# Valor Inicial:
lims→∞sVs=lims→∞s2+10s3s3+2s2+s=
lims→∞1+10/s3s+2+1/s=0→V∞=0

# Valor final:
lims→0sVs=lims→0s2+10s3s3+2s2+slims→∞s+103s²+2s+1=10→V0=10

14.6-3 Usando a transformada de Laplace determine vc (t) para t>0 no circuito da figura abaixo. As condições iniciais são zeros. Sugestão: use uma transformação de fonte para obter um circuito com uma única malha.

Solução:

15000 Is+IssC=10ss2+4→Is=10ss2+41500+1sC
Vcs=1sC×sC×10ss2+41500sC+1→Vcs=10ss2+41500sC+1
Vcs=10ss2+412s+1→Vcs=20ss2+4s+2=As+2+Bs+CS2+4...