Cinemática dos sólidos - espaço e aceleração

Duas esferas condutoras idênticas, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0.108N quando a distância entre os centros é 50,0cm. As esferas são ligadas por um fio condutos de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360N. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine:
a) a carga negativa inicial de uma das esferas
b) a carga positivia inicial da outra esfera.

antes do contato:

F = 0,108 k q1 q2 / r² = 0,108 r = 50 cm = 0,5 m k = 9 *10^9 Nm²/C²

9 *10^9 * q1 q2 / (0,5)² = 0,108
9 *10^9 * q1 q2 = 0,027
10^9 * q1 q2 = 0,003 q1 q2 = 0,003 * 10^(-9)

q1 q2 = 3 * 10^(-12) estes são valores em módulo de q1 e q2 como há a atração, uma carga deve ser positivia e outra negativa, assim

================ q1 q2 = - 3 * 10^(-12)
================

após o contato:

F = 0,036 k Q1 Q2 / r² = 0,036 r = 50 cm = 0,5 m k = 9 *10^9 Nm²/C²
Q1' e Q2 são os valores das cargas em cada esfera após o contato

9 *10^9 * Q1 Q2 / (0,5)² = 0,036
9 *10^9 * Q1 Q2 = 0,009
10^9 * Q1 Q2 = 0,001
Q1 Q2 = 0,001 * 10^(-9)
Q1 Q2 = 1 * 10^(-12) e após o equilíbrio eletrostático: Q1 = Q2 = Q
Q² = 10^(-12)
Q = 10^(-6) e como a carga total é positiva:
Q = + 10^(-6)

mas a carga se conserva então q1 + q2 = Q1 + Q2 e como as cargas finais Q1 = Q2 = Q q1 + q2 = 2Q q1 + q2 = 2 * (+ 10^(-6))

================== q1 + q2 = 2 * 10^(-6)
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da primeira relação em destaque tiramos que q1 = - 3 * 10^(-12) / q2

assim q1 + q2 = 2 * 10^(-6) se tora
- 3 * 10^(-12) / q2 + q2= 2 * 10^(-6) multiplicando por q2 em todos os lados e agrupando: q² - 2 * 10^(-6) q2 - 3 * 10^(-12) = 0 resolvendo a equação do segundo grau por Báskara duas soluções para q são

1) q2 = 3 * 10^(-6) C usando que q1 + q2 = 2 * 10^(-6) obtido acima q1 = - 1 * 10^(-6) C

ou
2) q2 = - 1 * 10^(-6) C q1 = 3 * 10^(-6) C

usando que 10^(-6) C = 1 µC as cargas serão
-1 µC