CEA
68421 palavras
274 páginas
Corpos e Equa¸co˜es Alg´ebricasJorge Picado
Departamento de Matem´atica
Universidade de Coimbra
2011
Vers˜ ao de 21 de Agosto de 2011
´Indice
Introdu¸
c˜ ao 1
1. An´ eis e corpos
3
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. An´ eis de polin´ omios 18
25
Apˆendice 1. Apontamentos para estudo complementar: dom´ınios de factoriza¸c˜ ao u
´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Apˆendice 2. Crit´erios de irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3. Corpos, grupos e equa¸c˜ oes 53
Solu¸c˜ oes por radicais de equa¸c˜oes quadr´aticas, c´ ubicas e qu´articas . . .
53
Extens˜ oes de corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Aplica¸c˜ ao: constru¸c˜ oes com r´egua e compasso . . . . . . . . . . . . . . .
70
Constru¸c˜ ao de pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Extens˜ oes de decomposi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Grupo de Galois de um polin´omio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4. Corpos finitos
119
Aplica¸c˜ oes: Teoria alg´ebrica de c´odigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Bibliografia
153
Solu¸ c˜ oes de exerc´ıcios seleccionados
155
Introdu¸ c˜ ao
Estas notas incluem com algum pormenor os principais conceitos e resultados apresentados nas aulas, completados aqui e acol´a com alguns exemplos, observa¸c˜oes e exerc´ıcios. Espera-se que sejam um auxiliar valioso para o curso, que permita uma maior liberdade nas aulas, na explica¸c˜ao te´orica dos assuntos, substituindo uma exposi¸c˜ ao com grande pormenor formal por uma que realce a motiva¸c˜ao e os aspectos intuitivos desses mesmos conceitos e