Capitulo 7-10, parte 3 calculo b

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Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 270 – 272.

CAPÍTULO 7

7.10 - EXERCÍCIOS pág. 270 - 272
Nos exercícios de 1 a 12, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Observação: Para os exercícios de 1 a 12,haverá uma escolha de uma região de integração e a partir dessa escolha tem-se a delimitação do sólido superiormente e inferiormente, entretanto a escolha apresentada não é única. 1. y  x 2 , y  4 , z  0 e z  4 Vamos considerar a região de integração no plano xz. Dessa forma o sólido será delimitado superiormente pelo plano y  4 e inferiormente pela calha y  x 2 , sendo a região deintegração dada por:  2  x  2  0  z  4 Considerando-se a simetria do sólido vamos definir o volume como:

V  2  4  x 2 dx dz
0 0

4 2





Temos:

 4  x  dx  4 x 
2 2 0

x

3

2  0 16 3

3 64 3

4 0 Portanto, 64 V  2 3 128 V unidades de volume. 3 16 16 dz  z 3 0 3
4



2. z  4 x 2 , z  0 , x  0 , x  2 , y  0 e

y4

Vamos considerar a regiãode integração no plano xy. Dessa forma o sólido será delimitado superiormente pela calha z  4x 2 e a base fica em z=0, definida como 390

Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 270 – 272.

0  x  2  0  y  4 Assim,

V   4x 2 dx dy
0 0

4 2

 4x
0 4

2

2

dx 

4x

3

2  0 32 3

3

4 32 32 128  3 dy  y  3 0 3 0

Portanto, V    4 x 2 dx dy 
0 0

4 2

128 unidades de volume. 3

3. z  1  x 2 , z  0 , x  y  4 e

y0

Vamos considerar a região de integração no plano xy. Dessa forma o sólido será delimitado superiormente pela calha z  1  x 2 e inferiormente por z  0 .A região de integração é dada por: 0  y  4  x   1  x  1 A região de integração (base do sólido) pode ser visualizada na figura que segue:
y 5 4 3 2 1 x -1 1
y=4-x

O volume é dado por:

V
1

1 4 x

1 0

 1  x  dy dx
2

=  x  4 x 2  1 dx 
1





16 unidades de volume. 3

391

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4. x2  y 2  1, z  0, z  x2  y 2 . Vamos considerar a região de integração no plano xy. Dessa forma o sólido será delimitado superiormente pelo paraboloide z  x 2  y 2 , inferiormente por z  0 e lateralmente pelo cilindro circular x 2  y 2  1. A região de integração, descrita em coordenadas polares, é dada por: 0  r  1  0    2 Assim o volume é dado por
V 
R

 x

2

 y 2  dx dy
2

=   r 2  r dr d 
0 0

2 1


0

r

2 1 1  unidades de volume. d   d    4 2 0 4 4 0 0 4 1
2

5. x 2  y 2  4 , y  z  8 , z  0 . Vamos considerar a região de integração no plano xy. Dessa forma osólido será delimitado superiormente pelo plano z  8  y , inferiormente por z  0 e lateralmente pelo cilindro circular x 2  y 2  4 . A região de integração, descrita em coordenadas polares, é dada por: 0  r  2  0    2 Assim o volume é dado por
V 

R 2 2

 8  y  dx dy
2 8 8  4  4  sen   16  sen 3 3 0

V

  8  r sen  r dr d
0 0 2

Sendo que  8r  r 2sen  dr  8
0

r r  sen  2 3

2

3

e 2 8 8   V   16  sen  d 16  cos   16  2  32 unidades de volume. 3  0 3 0
2

6. z  x2  1, z  0 , y  0 , x  0, x  4 e

y 5

392

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