Calculo1

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Natureza do Cálculo Infinitesimal
Ocorrendo que uma variável y seja função de outra variável x, o CI se propõe a estudar essa dependência em dois momentos. Inicialmente descobre-se uma representação analítica y = f( x ) expresando essa dependência, a seguir estuda-se as propriedades dessa função .

Problema da identificação: Barrow
Desejo descobrir a função f que expressa a dependência y =f( x ) entre x e y. A experiência mostra que, normalmente, é dificil de conseguirmos fazer isso diretamente. Assim sendo, o CI usa uma abordagem indireta em duas etapas:


etapa diferencial: Descobre-se relação entre a variação infinitesimal dx de x e a variação infinitesimal dy de y
etapa integral: obtém-se a expressão analítica de y = f( x ) a partir da relação entre dy e dx.

O sucessodessa estratégia depende dos seguintes fatos:


como dx e dy são versões infinitesimais de x e y, na busca da expressão de dy em termos de dx podemos desprezar infinitésimos de ordem superior


a existência de uma regra, descoberta por Barrow e chamada de Teorema Fundamental do Cálculo Integral, que permite-nos passar de dy/dx para y = y( x ).


Problema da elucidação: Fermat
Aspropriedades locais de y = y( x ) podem ser descobertas estudando o que ocorre com y ao x variar infinitesimalmente. Com efeito, por exemplo, Fermat mostrou que nos pontos de máximo ou mínimo de y = y( x ) as variações dx produzem uma dy=0; consequentemente, esses pontos podem ser determinados através da resolução da equação dy/dx = 0. Equação essa que é muito fácil de obtermos.
A exploração dainterpretação geométrica da taxa dy/dx permite o estudo de muitas outras propriedades locais de y = y( x ): crescimento, convexidade, etc bem como a obtenção de aproximações locais.
E quanto as propriedades globais de y = y( x ), tais como valor médio de y ao longo de um intervalo de variação de x?
Para isso, o CI da preferência ao uso da chamada integral de y = y( x ), a qual é o resultado doacúmulo ou soma das parcelas infinitesimais y( x ) dx ao longo de um intervalo de variação de x. Essa noção de acúmulo de infinitesimais é extremamente fértil, tanto em aplicações estritamente matemáticas ( áreas, volumes, valores médios, etc ) como físicas ( trabalho, pressão, etc).


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Por que o infinitesimal?pois usa o formalismo infinitesimal esboçado acima e que remonta aos primeiros mestres dessa arte: Kepler, Cavalieri, Fermat, Newton, Leibniz, os Bernoullis, Taylor, Mac Laurin, Euler e tantos outros.


preferimo-lo, em oposição ao enfoque mais recente de Cauchy-Weierstrass e que substitui o uso dos infinitésimos por desigualdades tipo epsilon-delta, por ser mais natural e intuitivo, alem decorresponder muito melhor ao modo de pensar dos físicos e engenheiros.


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Qual a origem do Cálculo Infinitesimal ?


A motivação de tudo

Com a divulgação dos escritos matemáticos de Archimedes na Europa, em várias edições impressas c. 1550, é retomado com enorme ímpeto o estudo dos métodos infinitesimais. Deinício, a preocupação é apenas a de continuar a tradição arquimediana aplicando seus métodos na determinação de áreas, volumes e centros de gravidade: Comandino, Maurolico, Luca de Valerio e Stevin (1570-1585) são os primeiros nomes que se destacam.
Mas logo o espírito renascentista se faz notar através de Galileo c.1620 . Esse, ao contrário dos já citados, procurou ir além dos gregos e nãomais limitar-se a estudar as grandezas de natureza geométrica da Astronomia, Óptica e Estática. Ele é a primeira grande inteligência a estudar quantitativamente áreas nunca abordadas pelos gregos clássicos: Cinemática, Dinâmica, Elasticidade, etc.

O enorme prestígio de Galileo possibilitou que todos vissem que os métodos infinitesimais eram os instrumentos adequados para o estudo dessas novas...
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